高中数学人教版新课标A选修1-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课后作业题

2021年高中数学选修《直线与圆锥曲线的综合问题》

同步精选

一         、选择题

1.设F1，F2分别是椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，

若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)

A.           B.       C.           D.

【答案解析】答案为：D；

解析：∵|PF1|=|PQ|，且∠F1PQ=60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，

∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|=，|PF2|=，|F1F2|=2c，

∴()2－()2=(2c)2，即a2=3c2，∴e2==，∴e=.

2.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A.(1，)       B.(1，]     C.(，＋∞)      D.[，＋∞)

【答案解析】答案为：C；

解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y=x，则由题意得＞2，所以e=＞=.

3.直线y=x＋3与双曲线－=1的交点个数是(　　)

A.1           B.2         C.1或2           D.0

【答案解析】答案为：A；

解析：因为直线y=x＋3与双曲线－=1的一条渐近线y=x平行，

所以它与双曲线只有1个交点.

4.如图，F1，F2是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A.4         B.          C.         D.

【答案解析】答案为：B；

解析：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60°.

由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|=2a，∴|BF1|=2a.

又|BF2|－|BF1|=2a，∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a，|AF1|=6a.

在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos 60°，

∴(2c)2=(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×，即c2=7a2，∴e===.故选B.

5.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，

且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为(　　)

A.2         B.          C.         D.

【答案解析】答案为：B；

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2=24，y1＋y2=30，

由两式相减得：=，

则==.由直线AB的斜率k==1，∴=1，则=，

∴双曲线的离心率e===.

6.过双曲线C：－=1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是(　　)

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点且都在左支上

D.有两个交点分别在左、右两支上

【答案解析】答案为：D；

解析：直线l的方程为y=，代入C：－=1，整理得23x2－8x－160=0，

Δ=(－8)2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上.

7.已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)

A.y=x－1      B.y=－2x＋5     C.y=－x＋3     D.y=2x－3

【答案解析】答案为：D；

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y=4(x1－x2)，

由题可知x1≠x2.∴===2，即kAB=2，∴直线l的方程为y－1=2(x－2)，

即2x－y－3=0.故选D.

8.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|=(　　)

A.         B.        C.5         D.

【答案解析】答案为：D；

解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|=p＋x1＋x2.∵p=2，∴|AB|=2＋=.

9.已知点A是抛物线C：x2=2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为(　　)

A.        B.1        C.        D.2

【答案解析】答案为：D；

解析：设过点A与抛物线相切的直线方程为y=kx－.

由得x2－2pkx＋p2=0，

由Δ=4k2p2－4p2=0，可得k=±1，则Q(p,)，P(-p,)，

∴△APQ的面积为×2p×p=4，∴p=2.故选D.

10.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为(　 　)

A.3         B.2        C.－2         D.－3

【答案解析】答案为：D；

解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，

与抛物线方程y2=2px联立得得即A，

则直线AB的方程为y－p=6，

即y=6x－2p，与抛物线方程y2=2px联立得

得或所以B，

所以直线OB的斜率为kOB==－3.故选D.

11.已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　 　)

A.       B.     C.      D.

【答案解析】答案为：D；

解析：由题意知k＞0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5=0，

因为直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，

则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以

解得1＜k＜，即k∈，故选D.

12.过原点的直线l与双曲线－=－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.                  B.

C.∪         D.∪

【答案解析】答案为：B；

解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=kx，将其代入双曲线的方程－=1，

并整理得(3k2－1)x2－9=0.因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ=36(3k2－1)＞0，

所以k2＞，解得k＞或k＜－.

设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k=tan α(0≤α≤π，且α≠)，

可得α∈∪；

当直线l的斜率不存在，即α=时，直线l为y轴，显然与双曲线有两个交点.故选B.

二         、填空题

13.抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=(x－1)，l与C交A，B两点，若|AB|=，则p=____.

【答案解析】答案为：2；

解析：由消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由根与系数的关系，得x1＋x2=，x1x2=1，

所以|AB|=2=2 =，所以p=2.

14.设抛物线x2=4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足=λ，若||=，则λ的值为________．

【答案解析】答案为：0.5；

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由抛物线x2=4y得焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y=－1，

∵||=，∴y1＋1=，解得y1=，∴x1=±，由抛物线的对称性取x1=，

∴A，∴直线AF的方程为y=－x＋1，

由解得或

∴B(－2，2)，∴||=2＋1=3，

∵=λ，∴||=λ||，∴=3λ，解得λ=.

15.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________.

【答案解析】答案为：3.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，

则直线l的方程为y－0=(x- )，即y=x－p，联立抛物线方程，

消去y并整理，得12x2－20px＋3p2=0，则x1=p，x2=p，则==3.

16.设P为双曲线－=1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为         .

【答案解析】答案为：15；

解析：设P(x0，y0)(不妨设P在第一象限)，A在第一象限，

直线PA的方程为y－y0=－(x－x0)，直线OA方程为y=x，联立解得xA=，

又P到渐近线OA的距离为d=，

又tan∠xOA=，所以cos∠xOA=.所以平行四边形PAOB的面积为

S=2S△OPA=|OA|·d==×|6y0＋5x0|×=15.

三         、解答题

17.若双曲线E：－y2=1(a＞0)的离心率等于，直线y=kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若|AB|=6，求k的值.

【答案解析】解：(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2=1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2=0.①

∵直线与双曲线的右支交于A，B两点，

∴∴1＜k＜.

(2)由①得x1＋x2=，x1x2=，

∴|AB|=·=2=6，

整理得28k4－55k2＋25=0，∴k2=或k2=.

又1＜k＜，∴k=.

18.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，

求直线l的方程.

【答案解析】解：(1)抛物线E：y2=2px(p＞0)的准线方程为x=－，

由抛物线的定义可知3－(－)  =4，

解得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x.

(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，

设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则两式相减，整理得 =(x1≠x2).

∵线段AB中点的纵坐标为－1，

∴直线l的斜率kAB===－2，

∴直线l的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.

法二：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，

设直线l的方程为x=my＋1，

由消去x，得y2－4my－4=0.

 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

 ∵线段AB中点的纵坐标为－1，

∴==－1，解得m=－，

∴直线l的方程为x=－y＋1，即2x＋y－2=0.

19.已知直线l：y=x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2，－1)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；

(2)若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线C：x2=y(m≠0)相切，求直线l和抛物线C的方程.

【答案解析】解：(1)由题意得点P的坐标为(－m,0)，且MP⊥l，

所以kMP·kl=·1=－1(kl为直线l的斜率)，

解得m=－1.所以点P(1,0).

设所求圆的半径为r，则r2=|PM|2=1＋1=2，

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=2.

(2)将直线l：y=x＋m中的y换成－y，可得直线l′的方程为y=－x－m.

由得mx2＋x＋m=0(m≠0)，Δ=1－4m2，

因为直线l′与抛物线C：x2=y相切，

所以Δ=1－4m2=0，解得m=±.

当m=时，直线l的方程为y=x＋，抛物线C的方程为x2=2y；

当m=－时，直线l的方程为y=x－，抛物线C的方程为x2=－2y.

20.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．

【答案解析】解：

(1)抛物线E：y2=2px(p＞0)的准线方程为x=－，

由抛物线的定义可知3－  =4，

解得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x.

(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，

设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则两式相减，整理得 =(x1≠x2)．

∵线段AB中点的纵坐标为－1，

∴直线l的斜率kAB===－2，

∴直线l的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.

法二：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，

设直线l的方程为x=my＋1，

由消去x，得y2－4my－4=0.

 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

 ∵线段AB中点的纵坐标为－1，

∴==－1，解得m=－，

∴直线l的方程为x=－y＋1，即2x＋y－2=0.

21.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程.

【答案解析】解：(1)由椭圆的定义知4a=4，a=，

由e=知c=ea=1，b2=a2－c2=1.

所以椭圆C的方程为＋y2=1.

(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，|F1F2|=2，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my－1，

联立x=my－1与＋y2=1，

得(m2＋2)y2－2my－1=0，|y1－y2|=，

S△ABF2=2=2，

当m2＋1=1，m=0时，S△ABF2最大为，l：x=－1.

22.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的焦距为4，P是椭圆C上的点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设=＋.

证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.

【答案解析】解：(1)由题意知2c=4，即c=2，

则椭圆C的方程为＋=1，

因为点P在椭圆C上，

所以＋=1，解得a2=5或a2=(舍去)，

所以椭圆C的方程为＋y2=1.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，

由＋=得，D(x1＋x2，y1＋y2)，

所以直线AB的斜率kAB=，

直线OD的斜率kOD=，

由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，

即·=－，所以kAB·kOD=－.

故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.

23.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值.

【答案解析】解：(1)依题意得

解得

∴椭圆C的方程是＋=1.

(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，

设线段AP中点为M，又A(3,0)，

∴AP中点M，直线AP的斜率为，

由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，

∴直线AP的垂直平分线方程为

y－=－，

令x=0得B，

∵＋=1，∴B，

由F(－2,0)，

∴四边形FPAB的面积S==≥5，

当且仅当2|y0|=，即y0=±时等号成立，

四边形FPAB面积的最小值为5.