高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆复习练习题

椭圆及其标准方程(二)

一、基础过关

1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是(　　)

A．线段  B．椭圆  C．圆  D．不存在

2．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标为          (　　)

A．(±3,0)     B.

C.     D.

3．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于                                                                                                                                                                                                    (　　)

A.  B.  C.  D．4

4．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是                                                                                                                                                                                                                  (　　)

A．圆  B．椭圆  C．线段  D．直线

5．曲线＋＝1与＋＝1 (0<k<9)的关系是       (　　)

A．有相等的焦距，相同的焦点

B．有相等的焦距，不同的焦点

C．有不相等的焦距，不同的焦点

D．以上都不对

6．椭圆＋＝1 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.求椭圆C的方程．

二、能力提升

7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆上，且·＝0，则|＋|＝________.

8．已知A，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______________．

9．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若＝5，则点A的坐标是__________．

10．△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a>b>c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．

11．P是椭圆＋ ＝1 (a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．

三、探究与拓展

12．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M，N为焦点，且经过点P的椭圆的方程．

答案

1．D　2．D  3．C　4．B　5．B　

6．解　因为点P在椭圆C上，

所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.

在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝＝2，

故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

7．6

8．x2＋y2＝1

9．(0,1)或(0，－1)

10．解　由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，

∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，

∴点B到定点A、C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，其中a′＝2，c′＝1.

∴b′2＝3.又a>b>c，

∴顶点B的轨迹方程为＋＝1 (－2<x<0)．

11．解　由＝＋，

又＋＝2＝－2，设Q(x，y)，

则＝－＝－(x，y)＝，

即P点坐标为，又P点在椭圆上，

∴＋＝1，即＋＝1，

∴Q的轨迹方程为＋＝1 (a>b>0)．

12．解　如图所示，以MN所在的直线为x轴，线段MN的垂直平分线

为y轴，建立平面直角坐标系．

设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，

M(－c,0)，N(c,0)，P(x0，y0)．

由tan∠PMN＝，tan∠PNx＝tan(π－∠MNP)＝2，

得直线PM，PN的方程分别是y＝(x＋c)，y＝2(x－c)．

联立解得　即点P.

又∵S△PMN＝|MN|·|y0|＝×2c×c＝c2，

∴c2＝1，即c＝，

∴点M，N，P.

∴2a＝|PM|＋|PN|＝＋＝，

即a＝.∴b2＝a2－c2＝－＝3.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.