人教版新课标A选修1-12.2双曲线教学设计及反思

2013年高考数学总复习 8-5 双曲线但因为测试 新人教B版

1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)

A.－y2＝1   B.－y2＝1

C.－＝1   D．x2－＝1

[答案]　B

[解析]　椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)，

由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|

＝－

＝－＝2，

∴a＝，∴b2＝c2－a2＝1，

∴双曲线方程为－y2＝1.

(理)(2011·山东理，8)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

[答案]　A

[解析]　依题意：⊙C方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r＝2，∴双曲线的右焦点F2为(3,0)，即c＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

∴＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.

2．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线－＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B．2

C.   D．2

[答案]　A

[解析]　由条件知m＋2＝4，∴m＝2，

∴离心率e＝＝.

(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　B

[解析]　因为椭圆的离心率e＝，即＝，也即＝，所以＝，则1＋＝，即＝，则双曲线离心率e′＝＝，故选B.

3．(文)(2011·南昌一模)设F为双曲线－＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　D

[解析]　对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，＝＝，选D.

(理)(2011·新泰一中模拟)设P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是(　　)

A．内切    B．外切

C．内切或外切    D．不相切

[答案]　A

[解析]　如下图，取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．

由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，

即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，

即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．

4．(文)(2011·青岛一检)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝(　　)

A.   B．2

C.   D．2

[答案]　B

[解析]　如下图∵F1、F2为双曲线的左右焦点，∴F1(－，0)，F2(，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|＋|＝|2|＝2，故选B.

(理)(2011·湖南湘西联考)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)

A．8   B．9

C．16   D．20

[答案]　B

[解析]　由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.

据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.

5．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　)

A．－1<k<1   B．k>0

C．k≥0   D．k>1或k<－1

[答案]　A

[解析]　由题意知(1＋k)(1－k)>0，

∴－1<k<1.

6．(文)(2010·湖南长沙雅礼中学)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(　　)

A．4条　　　 B．3条　　　

C．2条　　　 D．1条

[答案]　B

[解析]　过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.

(理)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　D

[解析]　直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，

∴－<k<－1.

7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则a的值为________．

[答案]　2

[解析]　∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±x，

又一条渐近线方程为x，∴a＝2.

8．(文)(2011·江西文，12)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.

[答案]　48

[解析]　∵＝2，

∴m＝48.

(理)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．

[答案]　2

[解析]　，∴，

∴a＝1，c＝2，∴e＝＝2.

9．(文)(2011·长沙二模)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．

[答案]　－＝1

[解析]　由已知得在椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为－＝1.

(理)(2011·宁波二模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．

[答案]　ab

[解析]　因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离为＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为×2a×b＝ab.

10．(文)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．

[解析]　(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0                                             ①

由题设条件知，，

解得0<a<且a≠1，

又双曲线的离心率e＝＝，

∵0<a<且a≠1，∴e>且e≠.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．

∵＝，

∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2，

∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，

∴x2＝－，x＝－，

消去x2得，－＝，

∵a>0，∴a＝.

(理)(2011·江西理，20)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

[解析]　(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1

由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.

(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则，

设＝(x3，y3)，＝λ＋，即          ①

又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，

化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，      ②

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2，

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2

得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.

11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x2＝4y的准线过双曲线－y2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　C

[解析]　易知抛物线的焦点坐标为(0，)，其准线方程为y＝－，∵双曲线－y2＝－1的焦点坐标为(0，±)，

∴m2＋1＝3＝c2，∴c＝，

∴双曲线的离心率为e＝＝.

(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.＋1

C.＋1   D.

[答案]　C

[解析]　由AF⊥x轴知点A坐标为，代入双曲线方程中得，－＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴c＝，即p＝2c，

又b2＝c2－a2，∴－＝1，

由e＝代入整数得，e4－6e2＋1＝0，

∵e>1，∴e2＝3＋2，∴e＝＋1.

12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)

A．a2＝   B．a2＝13

C．b2＝   D．b2＝2

[答案]　C

[解析]　

由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝|AB|＝，

∴|OP|＝.则点P坐标为(，)，

又∵点P在椭圆上，∴＋＝1.                      ①

又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得.

故选C.

(理)(2011·江西南昌调研)设圆C的圆心在双曲线－＝1(a>0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x－y＝0截得的弦长等于2，则a＝(　　)

A.   B.

C.   D．2

[答案]　C

[解析]　由条件知，圆心C(，0)，C到渐近线y＝x的距离为d＝＝为⊙C的半径，又截得弦长为2，∴圆心C到直线l：x－y＝0的距离＝1，∴a2＝2，∵a>0，∴a＝.

13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．

[答案]　

[解析]　由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝>3⇒m>2，故所求概率是，故填.

14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；

(3)求△F1MF2的面积．

[解析]　(1)因为e＝，

所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ，

因为双曲线过点(4，－)，

所以16－10＝λ，即λ＝6.

所以双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，

所以c＝2.

所以F1(－2，0)，F2(2，0)．

所以kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·kMF2＝＝－.

因为点(3，m)在双曲线上，

所以9－m2＝6，即m2＝3.

故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.

所以·＝0.

(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝4，

△F1MF2的高h＝|m|＝，

所以S△F1MF2＝6.

15．(文)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当＝λ1＝λ2，且λ1＋λ2＝－时，求Q点的坐标．

[解析]　(1)设双曲线的方程为－＝1.

由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，

∴对于双曲线C：c＝2.

又y＝x为双曲线C的一条渐近线，

∴＝，解得a2＝1，b2＝3.

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

(2)解：如下图所示，由题意知，直线l的斜率k存在且不等于零．

设l的方程为y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

Q(－，0)．

∵＝λ1，

∴(－，－4)＝λ1(x1＋，y1)．

∴即

∵A(x1，y1)在双曲线C上，

∴()2－－1＝0.

∴16＋32λ1＋16λ－k2－k2λ＝0.

∴(16－k2)λ＋32λ1＋16－k2＝0.

同理有(16－k2)λ＋32λ2＋16－k2＝0.

若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意．

∴16－k2≠0.

∴λ1、λ2是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－k2＝0的两根．

∴λ1＋λ2＝＝－.

∴k2＝4.此时Δ>0，∴k＝±2.

∴所求点Q的坐标为(±2,0)．

(理)(2011·临沂模拟)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

[解析]　(1)设双曲线C2的方程为－＝1，

则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，

得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，

(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

，

∴k2≠且k2<1                                      ①

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

则xA＋xB＝，xAxB＝

由·>2得，xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)

＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2

＝(k2＋1)·＋k·＋2＝

于是>2，即>0，

解此不等式得<k2<3                                ②

由①②得<k2<1，∴<k<1或－1<k<－.

故k的取值范围为∪.

1．(2011·天津文，6)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)

A．2   B．2

C．4   D．4

[答案]　B

[解析]　由交点(－2，－1)得－＝－2，∴p＝4，

∴抛物线方程为y2＝8x，∴F(2,0)，

又a＋＝a＋2＝4，∴a＝2，

双曲线的一条渐近线为y＝x，且过点(－2，－1)，

∴a－2b＝0，∴b＝1，

∴c2＝a2＋b2＝5，∴c＝，2c＝2.故选B.

2．若椭圆＋(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)

A．m－a   B.(m－a)

C．m2－a2   D.(m2－a2)

[答案]　C

[解析]　(|PF1|＋|PF2|)2＝4m2，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，

∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.∴选C.

3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆的一部分   B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分 D．圆的一部分

[答案]　D

[解析]　延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.

∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，

又|OP|＝|RF2|，∴|OP|＝a.

4．(2011·广东揭阳市模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

[答案]　D

[解析]　依题意得双曲线的半焦距c＝4，由e＝＝2⇒a＝2，∴b＝＝2，

∵双曲线的焦点在x轴上，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.

5．(2011·新课标全国理，7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A.   B.

C．2   D．3

[答案]　B

[解析]　依题意：|AB|＝，

∴＝2·2a，即＝2，

∴e＝＝，选B.

6．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为(　　)

A．x＝±y   B．y＝±x

C．x＝±y   D．y＝±x

[答案]　D

[解析]　由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，

∴m2＝8n2，

∴双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.

方程为y＝±x.

7．(2011·浙江杭州月考)双曲线x2－＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．

[答案]　

[解析]　双曲线x2－＝1的右焦点F(c,0)到渐近线bx＋y＝0的距离：＝b＝2，又a＝1.

∴c2＝a2＋b2＝5，c＝.

∴双曲线的离心率e＝＝.

8．(2011·北京海淀期末)如下图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦点的双曲线，若其中经过点M，N，P的双曲线的离心率分别记为eM，eN，eP，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．

[答案]　eM<eP<eN

[解析]　由图知|AB|＝10，经过M，N，P的双曲线的半焦距均为5，由|MB|－|MA|＝7知过点M的双曲线实半轴长为，同理可知过N，P的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知eN>eP>eM.