高中人教版新课标A2.3抛物线优秀课后测评

这是一份高中人教版新课标A2.3抛物线优秀课后测评，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
准线方程为y=eq \f(2,3)的抛物线的标准方程为( )
A.x2=eq \f(8,3)y B.x2=－eq \f(8,3)y C.y2=－eq \f(8,3)x D.y2=eq \f(8,3)x
经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A.y2=8x B.x2=y C.y2=8x或x2=y D.无法确定
抛物线y2=－8x的焦点坐标是( )
A.(2,0) B.(－2,0) C.(4,0) D.(－4,0)
抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2，则a的值为( )
A.eq \f(1,8) B.－eq \f(1,8) C. 8 D.－8
设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为eq \f(1,2)，则此椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)=1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)=1 C.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)=1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)=1
抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>eq \f(p,2))，则点M的横坐标是( )
A.a＋eq \f(p,2) B.a－eq \f(p,2) C.a＋p D.a－p
设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D. 12
直线y=kx－2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k=( )
A.2或－2 B.1或－1 C.2 D.3
过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.2eq \r(13) B.2eq \r(15) C.2eq \r(17) D.2eq \r(19)
若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11=0上，则此抛物线的方程是( )
A.y2=－11x B.y2=11x C.y2=－22x D.y2=22x
已知抛物线C：y2=8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，
若 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =0，则k=( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D.2
二、填空题
抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________.
已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线eq \f(x2,a)－y2=1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于________.
过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________.
设A，B是抛物线x2=4y上两点，O为原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的面积为16，
则∠AOB等于________.
三、解答题
已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，
求m的值、抛物线方程和准线方程.
抛物线y2=2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为5eq \r(13)，求此抛物线方程.
已知抛物线y2=－x与直线y=k(x＋1)相交于A，B两点.
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于eq \r(10)时，求k的值.
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长.
已知抛物线y2=4x截直线y=2x＋m所得弦长AB=3eq \r(5)，
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P点的坐标.
已知抛物线y2=6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
如图，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1，y1)，
N(x2，y2)两点.
(1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON.
已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2) 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，求λ的值.
\s 0 答案解析
答案为：B.
解析：由准线方程为y=eq \f(2,3)，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且eq \f(p,2)=eq \f(2,3)，则p=eq \f(4,3).
故所求抛物线的标准方程为x2=－eq \f(8,3)y.
答案为：C
解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0)，
将点(2,4)代入可得p=4或p=eq \f(1,2)，所以所求抛物线标准方程为y2=8x或x2=y，故选C.
答案为：B
解析：依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p=8得eq \f(p,2)=2，
所以焦点坐标为(－2,0).故选B.
答案为：B
解析：y=ax2⇒x2=eq \f(1,a)y，故eq \f(1,4a)=－2，所以a=－eq \f(1,8).故选B.
答案为：B
解析：因为抛物线的焦点为 (2,0)，故椭圆的焦点在x轴上，且c=2.
又e=eq \f(c,m)=eq \f(1,2)，所以m=4，n2=m2－c2=12.所以此椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)=1.故选B.
答案为：B
解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x=－eq \f(p,2)的距离，
所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－eq \f(p,2).
答案为：B
解析：由抛物线的方程得eq \f(p,2)=eq \f(4,2)=2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2=6.
答案为：C；
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝kx－2，))得k2x2－4(k＋2)x＋4=0.
又由Δ=16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1.则由eq \f(4k＋2,k2)=4，得k=2.故选C.
答案为：B；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意知AB的方程为y=－2(x－1)，即y=－2x＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，))得x2－4x＋1=0，∴x1＋x2=4，x1·x2=1.∴|AB|=2eq \r(15).
答案为：B.
解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，
所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))).
答案为：C
解析：在方程2x－4y＋11=0中，令y=0得x=－eq \f(11,2)，
∴抛物线的焦点为F(－eq \f(11,2),0)，即eq \f(p,2)=eq \f(11,2)，∴p=11，
∴抛物线的方程是y2=－22x，故选C.
答案为：D；
解析：由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y=k(x－2)，
将其代入y2=8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(4k2＋2,k2)，,x1x2＝4.))①
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝kx1－2，,y2＝kx2－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝kx1＋x2－4k， ②,y1y2＝k2[x1x2－2x1＋x2＋4]. ③))
∵ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)=0.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)=0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4=0.④
由①②③④解得k=2.故选D项.
答案为：x2=16y
解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋eq \f(p,2)=5，所以p=8，即抛物线的标准方程是x2=16y.
答案为：eq \f(1,9).
解析：由抛物线定义知1＋eq \f(p,2)=5，∴p=8，∴抛物线方程为y2=16x，所以m2=16，
∴m=4，即M(1,4)，又因为A(－eq \r(a)，0)，双曲线渐近线方程为y=±eq \f(1,\r(a)) x，
由题意知eq \f(4,1＋\r(a))=eq \f(1,\r(a))，∴a=eq \f(1,9).
答案为：eq \f(7,2).
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=－1.由抛物线的定义知
|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)=x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2=7，得x1＋x2=5，
于是弦AB的中点M的横坐标为eq \f(5,2).因此，点M到抛物线准线的距离为eq \f(5,2)＋1=eq \f(7,2).
答案为：90°.
解析：由|OA|=|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a2,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a2,4)))，a＞0，S△AOB=eq \f(1,2)×2a×eq \f(a2,4)=16，解得a=4.
所以 △AOB为等腰直角三角形，∠AOB=90°.
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2=－2py(p>0)，
则焦点F（0，-eq \f(p,2)），准线l：y=eq \f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|=|MF|=5，
而|MN|=3＋eq \f(p,2)，3＋eq \f(p,2)=5，即p=4.
所以抛物线方程为x2=－8y，准线方程为y=2.
由m2=－8×(－3)=24，得m=±2eq \r(6).
法二：设所求抛物线方程为x2=－2py(p>0)，则焦点为F（0，-eq \f(p,2)）.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|=5，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝6p，, \r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝±2\r(6).))
∴抛物线方程为x2=－8y，m=±2eq \r(6)，准线方程为y=2.
解：设抛物线y2=2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，
直角边OA所在直线方程为y=2x，
另一直角边所在直线方程为y=－eq \f(1,2)x.
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,y2＝2px，))可得点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))；
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))可得点B的坐标为(8p，－4p).
因为|OA|2＋|OB|2=|AB|2，且|AB|=5eq \r(13)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p2,4)＋p2))＋(64p2＋16p2)=325.
所以p=2，
所以所求的抛物线方程为y2=4x.
解：(1)证明：设A(－yeq \\al(2,1)，y1)，B(－yeq \\al(2,2)，y2).
则y1=k(－yeq \\al(2,1)＋1)，y2=k(－yeq \\al(2,2)＋1)，
消去k得y1(1－yeq \\al(2,2))=y2(1－yeq \\al(2,1)).
∴(y2－y1)=y1y2(y1－y2)，
又y1≠y2，∴y1y2=－1，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))=y1y2＋yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)=y1y2(1＋y1y2)=0，
∴OA⊥OB.
(2)S△OAB=eq \f(1,2)×1×|y2－y1|，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－x，,y＝kx＋1，))得ky2＋y－k=0，
∴S△OAB=eq \f(1,2)×1×|y2－y1|=eq \f(1,2)eq \r(\f(1,k2)＋4)=eq \r(10)，
∴k=±eq \f(1,6).
解：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，
且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq \\al(2,1)=2px1，yeq \\al(2,2)=2px2.
又因为|OA|=|OB|，所以 xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)=xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2=0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)=0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以 x1=x2，
由此可得|y1|=|y2|，即点A，B关于x轴对称.
由此得∠AOx=30°，
所以 y1=eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \\al(2,1)=2px1联立，解得y1=2eq \r(3)p.
所以 |AB|=2y1=4eq \r(3)p.
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝2x＋m，))⇒4x2＋4(m－1)x＋m2=0，
由根与系数的关系得x1＋x2=1－m，x1·x2=eq \f(m2,4)，
|AB|=eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
=eq \r(1＋22)·eq \r(1－m2－4·\f(m2,4))=eq \r(51－2m).
由|AB|=3eq \r(5)，
即eq \r(51－2m)=3eq \r(5)⇒m=－4.
(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，
则d=eq \f(|2a－0－4|,\r(22＋－12))=eq \f(2|a－2|,\r(5))，
又S△ABP=eq \f(1,2)|AB|·d，则d=eq \f(2·S△ABP,|AB|)，eq \f(2|a－2|,\r(5))=eq \f(2×9,3\r(5))⇒|a－2|=3⇒a=5或a=－1，
故点P的坐标为(5,0)或(－1,0).
解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
∵P1，P2在抛物线上，
∴yeq \\al(2,1)=6x1，yeq \\al(2,2)=6x2.两式相减得
(y1＋y2)(y1－y2)=6(x1－x2).①
∵y1＋y2=2，代入①得k=eq \f(y2－y1,x2－x1)=3.
∴直线的方程为y－1=3(x－4)，
即3x－y－11=0.
解：(1)直线l的方程为y=k(x－2)(k≠0).①
(2)由①及y2=2x，消去y可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2=0.②
点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，
由韦达定理，得x1x2=eq \f(4k2,k2)=4.
由yeq \\al(2,1)=2x1，yeq \\al(2,2)=2x2，得(y1y2)2=4x1x2=4×4=16，
由图可知y1y2<0，所以y1y2=－4.
(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，
则k1=eq \f(y1,x1)，k2=eq \f(y2,x2).
由(2)知，y1y2=－4，x1x2=4，
∴k1k2=eq \f(y1y2,x1x2)=－1.
∴OM⊥ON.
解：(1)直线AB的方程是y=2eq \r(2)（x-eq \f(p,2)），与y2=2px联立，消去y得：
4x2－5px＋p2=0，所以x1＋x2=eq \f(5p,4).
由抛物线的定义得|AB|=x1＋x2＋p=eq \f(5p,4)＋p=9，
所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由于p=4，所以4x2－5px＋p2=0即为x2－5x＋4=0，
从而x1=1，x2=4，
于是y1=－2eq \r(2)，y2=4eq \r(2)，
从而A(1，－2eq \r(2))，B(4，4eq \r(2)).
设C(x3，y3)，
则eq \(OC,\s\up6(→))=(x3，y3)=(1，－2eq \r(2))＋λ(4，4eq \r(2))=(4λ＋1，4eq \r(2)λ－2eq \r(2))，
又yeq \\al(2,3)=8x3，
所以[2eq \r(2)(2λ－1)]2=8(4λ＋1)，即(2λ－1)2=4λ＋1，
解得λ=0或λ=2.