2021学年5.4 三角函数的图象与性质教案设计

这是一份2021学年5.4 三角函数的图象与性质教案设计，文件包含541正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性_提高doc、542余弦函数与正切函数的图象和性质_提高doc、543三角函数综合_提高doc等3份教案配套教学资源，其中教案共41页， 欢迎下载使用。
正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解正弦函数的性质.【要点梳理】要点一：正弦函数图象的画法 1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。2．几何法利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象。3．五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象。在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是要点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象。要点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线。（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数。要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。要点四：周期函数函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点五：正弦函数性质函数正弦函数y＝sinx定义域R值域[-1，1]奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间（k∈Z）增区间减区间最值点（k∈Z）最大值点；最小值点对称中心（k∈Z）对称轴（k∈Z）要点诠释：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点六：正弦型函数的性质．   函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．要点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．【典型例题】类型一：“五点法”作正弦函数的图象例1．作出函数在[－2π，2π]上的图象．【思路点拨】由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．【解析】函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．         【变式】用五点法作出，函数的图象．【思路点拨】取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点．【解析】  （1）找出五点，列表如下：x0010－10y=2－u21232描点作图（如下图）．         类型二：利用图象的变换作正弦函数图象例2．作函数的图象；【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。【解析】将化为，其图象如下图。         类型三：正弦函数定义域与值域例3．求函数的定义域【答案】【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z），∴函数的定义域为． 例4．求下列函数的值域：（1）y=|sin x|+sin x；（2），；【解析】 （1）∵，又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。（2）∵，∴。∴。∴，∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。 【变式】求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域。【答案】【解析】，令t=sin x，因为，所以t∈[0，1]，，t∈[0，1]，所以。 类型四：正弦函数单调性例5．求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）。【思路点拨】（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。【解析】（1）.故由2kπ-≤-≤2kπ+.3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；由2kπ+≤-≤2kπ+.3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间.∴递减区间为［3kπ-，3kπ+］，递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z).（2）由sin x＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）。∵，∴函数的递增区间即为u=sin x的递减区间，∴（k∈Z）。故函数的递增区间为（k∈Z）。 【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ-，kπ+］. 【变式2】三个数，，的大小关系是（    ）A．    B．C．    D．【答案】C类型五：正弦函数的奇偶性例6．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）。（3）。【解析】（1）∵x∈R，，∴，∴函数为偶函数。（2）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴（k∈Z），∴原函数的定义域不关于原点对称，∴既不是奇函数也不是偶函数。（3）函数定义域为R。，∴函数为奇函数。 【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：①对任意的，都是非奇非偶函数；②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；③存在，使是奇函数；④对任意的，都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)类型六：正弦函数的对称性例7．指出函数的对称轴与对称中心；【解析】令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。   同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。 【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。【答案】【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（    ）    A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【答案】  D【解析】 由题意知的图象关于对称，∴。∴a=－b，。∴。∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。类型七：正弦函数的周期例8．求函数的周期。【思路点拨】可直接利用公式； 【答案】（2）【解析】∵ω=3，∴。 【变式1】已知函数，使f (x)的周期在内，求正整数k .【答案】【解析】 ，         解得，所以         所以的取值为类型八：利用函数图象解简单的三角不等式例9．根据正弦曲线求满足的x的范围．【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍．【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图．        观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是． 【变式1】已知，解不等式．【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是．        类型九：三角函数图象的综合应用例10．（1）方程的解的个数为（    ）A．0    B．1    C．2    D．3（2）若函数，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．（3）当k为何值时，方程sin x+2|sin x|=k有一解、两解、三解、四解？【答案】  （1）D （2）1＜k＜3（3）k=3时，方程有一解；1＜k＜3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0＜k＜1时，方程有四解．【解析】 （1）作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．（2）．图象如图，由图象可知1＜k＜3．（3）由图象易知k=3时，方程有一解；1＜k＜3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0＜k＜1时，方程有四解． 【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x＞cos x成立的x的取值范围．     【解析】用“五点法”作出y=sin x，y=cos x（0≤x≤2π）的简图如图．由图象可知（1）当或时，sin x=cos x．（2）当时，sin x＞cos x．（3）当或时，sin x＜cos x．故x∈[0，2π]时要使sin x＞cos x，则x的取值范围为．例11．已知是定义在实数集上的函数，且对任意x都有。（1）求证：是周期函数；（2）若，试求的值。【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即，就是周期。【答案】（1）略（2）【解析】 （1）证明：由已知，∴。∴。∴，即。∴是以8为周期的函数。（2）∵。由，∴。