数学第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计及反思

这是一份数学第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计及反思，共7页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
2. 会进行复数乘法和除法运算。
3. 掌握共轭复数的简单性质，理解、的含义，并能灵活运用。
【要点梳理】
要点一、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
要点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:
交换律：z1+z2=z2+z1
结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
要点二、复数的加减运算的几何意义
复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
要点诠释：
复数复平面内的点平面向量
2．复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，
由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量
类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量
要点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：
（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理
（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
要点三、复数的乘除运算
1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
2．乘法运算法则：
设，（），我们规定：
要点诠释：
1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。
3．乘法运算律：
(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
要点四、复数运算的一些技巧：
1. 的周期性：如果n∈N，则有：
，，，（）
2.
3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【典型例题】
类型一、复数的加减运算
例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
（2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)
【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i
（2） 解法一：
原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。
解法二：
(1―2i)―(2―3i)=―1+i，
(3―4i)―(4―5i)=―1+i，
……
(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。
将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。
【变式】 (1)设z1=3+4i，z2=―2―i，求,
(2) 已知z1=(3x+y)+(y―4x)i，z2=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y∈R），求z1―z2，
【答案】
(1) z1+z2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i
(2) z1－z1=(3x+y)+(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)]i =
(5x－3y)+(x+4y)i，
类型二、复数的乘除运算
例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．
【思路点拨】
第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．
(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；
解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)
＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；
解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.
【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．
【变式2】计算：（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；
（2），
（3）
【变式3】计算：（1)（2） .
【答案】(1)
（2）.
例3.计算
【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意，不能出错。
【解析】
【变式1】复数等于（ ）．
A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i
【解析】 ，故选C．
【变式2】 计算：（1）（2）
【答案】（1）.
（2），
类型三. 复数代数形式的四则运算
例4. 计算下列各式：
（1）；（2）。
【解析】
（1）
。
（2）
。
【变式1】计算：
（1）
（2）
（3） ；
【答案】（1）
（2）
（3）
【变式2】计算：；
【答案】方法一：
原式。
方法二（技巧解法）：
原式。
考点4 共轭复数的有关计算
例5.，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.
【思路点拨】先将的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之即可求结果，
【解析】

【变式1】 设复数Z满足：
【答案】
【变式2】设z的共轭复数是，,，则＝ .
【答案】设（），则，
∵，且，
∴，，
当，时，；
当，时，.
故.
类型四. 复数的几何意义
例6. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1），
C（―1，―2），求D点对应的复数。
【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。
【解析】
解法一：设D（x，y），则。
。
因为，
∴（x―1，y―2）=（1，―3），得。
∴D点对应的复数为2―i。
解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心。
设D（x，y），则B，D关于O点对称，即，得。
∴D点对应的复数为2―i。
【变式1】若在复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为―4+6i，则对应的复数是____。
【答案】
由复数加减法的几何意义可得，其对应的复数为 。
【变式2】 已知为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？
【答案】设，
则
所以即（）.
以为圆心，为半径的圆去掉原点和后剩下的部分.