数学八年级上册2.4 线段、角的轴对称性同步训练题

2.4角的对称性

考点一、角平分线的性质

1. 如图所示，，AM平分，且M是BC中点．
   
   猜想AD，AB，DC的数量关系并证明；
   求证：DM平分．
   
    
2. 如图，于点D，于点G，．

求证：AD平分．
 

3. 如图，于点E，于点F，，．

求证：AD平分．

猜想与AE之间的数量关系，并给予证明．


 

4. 如图：在中，，于D，于E，BD、CE相交于F．
   求证：AF平分．
   
   
    

5. 如图，，交AB的延长线于点E，于点F，且，求证：AD是的平分线．
    

6. 如图，在中，，，D是AC边上一点，连接BD，，且，AE与BC交于点F．

求证：；

当时，求证：BD平分．


考点二、角平分线与垂直平分线的综合

7. 如图，在中，AD平分，，于点E，点F在AC上，．
   求证：．
   若，，求CF的长．
   
    

8. 如图：中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分且，延长线于求证：．

9. 已知，如图，，，于点E，于点F，求证：．
   
    
10. 如图，在中，AD是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，求证：．
    
     

11. 如图：，，，，
    图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
    连接AM，求证：MA平分．
    
    
     

12. 如图，OC是的角平分线，P是OC上一点，，，垂足分别为D，是OC上另一点，连接DF，求证：．
     

考点三、角平分线与垂直平分线作图的综合
 

13. 两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示某人要修建一座避暑山庄，要求该山庄到A、B两处的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在的内部，请画出该山庄的位置不写作法，保留作图痕迹．
     

14. 如图，在中，，利用直尺与圆规在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度不写作法，保留作图痕迹．

15. 作图题：
    画出所给图中三角形关于直线MN对称的图形．
    如图，已知，点E、F分别位于的两边上．试用刻度的直尺和量角器，在的内部寻找一点O，使点O到点E、F的距离相等，且到的两边的距离相等．

16. 如图，在直角三角形ABC中：
    过点A作AB的垂线，并在这垂线上通过作图找出点D，使D到AB、BC两边的距离都相等要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
    若，则______．
    
    
     
17. 作图与探究不写作法，保留作图痕迹，并用毫米黑色签字笔描深痕迹如图，和是的两个外角．
     

用直尺和圆规分别作和的平分线，设它们相交于点P；

过点P分别画直线AB、AC、BC的垂线段PM、PN、PQ，垂足为M、N、Q；

、PN、PQ相等吗？直接写出结论，不需说明理由



 

18. 如图是动物园的，OA，OB分别是河流的岸，点C是鳄馆，点D是猩猩馆，准备再造个熊猫馆P，要求点P到C，D两点的距离相等且到OA，OB的距离也相等，请尺规作图找出符合条件的点P的位置。

答案和解析

1.【答案】解：．
理由：如图，延长AM、DC相交于点F，

是BC的中点，
．
，
，．
在和中，

≌，
，．
平分，
，
，
，
，
．
，
，
．
如图，过M作于点H，于点I，于点G：

，AM平分，
，
为BC的中点，
，
，，
≌，
，
，
平分．
 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及平行线的性质的运用．
延长AM、DC相交于点F，则≌，就有，，由角平分线和平行线的性质得出，由，进而得出；
过M作于点H，于点I，于点G，根据角平分线的性质可得，证明≌，得到，从而，即可解答．
 

2.【答案】证明：，，
．
  EG．
，．
，
．
平分．
 

【解析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的判定有关知识，由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可．
 

3.【答案】证明：，，

．

在和中，

．

．

平分．

解：证明如下：

平分，

．

在和中，

．

．

．

【解析】见答案
 

4.【答案】证明：于D，于E，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
平分．
 

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定，关键是掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上．根据已知条件得到，证得≌，根据全等三角形的性质得到，然后根据角平分线的判定即可得到结论．
 

5.【答案】证明：的延长线于点E，于点F，

，

在和中，

，

≌，

，

又，，

是的平分线．

【解析】本题考查的是角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，熟知到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键先根据全等三角形的判定定理得出≌，进而得出，由角平分线的判定可知AD是的平分线．
 

6.【答案】证明：
，，

，

在和中，

≌，                 

；                           

由得≌，

，                     

由得，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，                               

，

，

BD平分    

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
证明和中即可；
由得≌，根据角的换算即可得证．
 

7.【答案】证明：平分，，于E，
．
在与中，
，
≌，
．

解：设，则，
平分，，
．
在与中，
，
≌，
，即，
解得，即．
 

【解析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离点D到AC的距离即，再根据HL证明≌，从而得出；
设，则，再根据题意得出≌，进而可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
 

8.【答案】证明：连接BD，DC，如图：

所在直线是BC的垂直平分线，
，
平分，过点D作于点M，交AC的延长线于点N，
，
在与中，

≌，
；
 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．
因为ED是BC的垂直平分线，那么，而AD是的平分线，，，根据角平分线的性质可得，再根据HL可判定≌，从而有．
 

9.【答案】证明：如图，连接AD，

在和中，
≌，
，
又，，
．
 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
连接AD，利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等可得，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．
 

10.【答案】证明：是的角平分线，、，
，，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】首先由角平分线的性质可得，又有，可证≌，即可得出．
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．
 

11.【答案】解：结论：，．
理由：，，
，
，
．
在和中，

≌，

，，
，
，
．
，．

证明：作于P，于Q，连结AM，

≌，
全等三角形对应边上的高相等．
于P，于Q，
平分．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定定理、垂直的判定的运用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
先由条件可以得出，再证明≌就可以得出结论；
作于P，于由≌，推出全等三角形对应边上的高相等由于P，于Q，可得AM平分．
 

12.【答案】证明：是的角平分线，P是OC上一点，，，
，．
在和中，，
≌，
．
在和中，，
≌，
．
 

【解析】根据角平分线的性质可得出，结合可证出≌，根据全等三角形的性质可得出，结合、可证出≌，再利用全等三角形的性质即可证出．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
 

13.【答案】解：如图，点P就是所要求作的山庄的位置，

【解析】P是线段AB的垂直平分线与的平分线的交点．
 

14.【答案】解：如图，作的平分线交BC于点D即可．

 

【解析】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键作的平分线交BC边于点D，则点D即为所求．
 

15.【答案】解：所画图形如下图所示：


所画图形如上图所示：图中的点P即为所求．
 

【解析】根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可．
连接EF，作EF的垂直平分线，用量角器量出的度数，进一步求出的度数，作出的平分线，两线交点P即为所求．
本题考查了轴对称作图及角平分线的性质，解答此题除了会用作图工具外，还要熟悉垂直平分线的定义，角平分线的定义，以及它们的性质．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图所示：点D即为所求；

，
，
平分，
，
则．
故答案为：．
直接利用角平分线的作法以及过一点作已知直线的垂线作法分析得出答案；
利用角平分线的定义结合直角三角形的性质得出答案．
此题主要考查了角平分线的性质以及复杂作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
 

17.【答案】解：如下图．

如下图．

．
 

【解析】本题主要考查角平分线的作法，垂线的画法，训练学生动手作图的能力，同时还考查了角平分线的性质，难度适中．
按照角平分线的作法用直尺和圆规画图即可；
按照垂线的作法用直尺和圆规画图即可
，理由：由于BP是的角平分线，且、，根据角平分线的性质得：，同理，；由此得到所求的结论．
 

18.【答案】解：如图所示：

点P即为所求．
 

【解析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法．
作的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点P就是所求点．