数学必修24.2 直线、圆的位置关系教案设计

展开

这是一份数学必修24.2 直线、圆的位置关系教案设计，共8页。

4．2．2　圆与圆的位置关系

Q
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？

X
1．圆与圆的位置关系：
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)圆心距d＝，
d>r1＋r2⇔两圆__外离__；d＝r1＋r2⇔两圆__外切__；
|r1－r2| d＝|r1－r2|⇔两圆__内切__；
0 2．两圆的公切线条数：
当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．
Y
1．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2的位置关系是(　C　)
A．相切　 B．外离　
C．内含　 D．相交
[解析]　圆x2＋y2＝1的圆心O1(0，0)，半径r1＝1，圆x2＋y2＝2的圆心O2(0，0)，半径r2＝，
则d＝|O1O2|＝0，|r2－r1|＝－1，
∴d<|r2－r1|，∴这两圆的位置关系是内含．
2．圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　圆x2＋y2＝4的圆心O1(0，0)，半径r1＝2，圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的圆心O2(4，7)，半径r2＝1，则d＝|O1O2|＝＝>r1＋r2＝3．
∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D．
3．若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝__1或121__．
[解析]　圆x2＋y2＝m的半径r1＝，
圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3，4)，半径r2＝6．
∵两圆相内切，两圆心距离d＝5，
∴6－＝5，或－6＝5，
∴m＝1或m＝121．
4．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．
[解析]　圆心C(a，b)在过点Q(3，－)与直线x＋y＝0垂直的直线y＝x－4上，∴b＝a－4．
圆心C到C1(1，0)和Q(3，－)距离的差为1，
可得或．
∴⊙C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．

H
命题方向1　⇨两圆位置关系的判断
典例1 判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．
[解析]　解法一：圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为C1(－3，0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为C2(0，－3)，半径为r2＝6，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝3，
∴|r1－r2| 解法二：由，得2x2＋x＋＝0，
Δ＝2－4×2×＝－＝>0，
∴两圆相交．

『规律方法』　判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d＝r1＋r2，两圆外切；d＝|r1－r2|时，两圆内切；d>r1＋r2时，两圆外离；d<|r1－r2|时，两圆内含；|r1－r2| 〔跟踪练习1〕
两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　C　)
A．相离　　　　 B．相切
C．相交 D．内含
[解析]　把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，
(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则连心线的长|C1C2|＝＝，
r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2<|C1C2| 命题方向2　⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围
典例2 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
[解析]　将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．
则圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；圆C2 的圆心为C2(1，7)，半径r2＝，k<50．
∴|C1C2|＝＝5．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切；
当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；
当14 当k<14时两圆内含，当34 〔跟踪练习2〕
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．
[解析]　对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．
圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．
圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．
(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2，
∴＝5，∴m2＋3m－10＝0，
解得m＝－5或2．
(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|，
∴<1，
∴m2＋3m＋2<0，∴－2 命题方向3　⇨两圆的公共弦问题
典例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[解析]　(1)将两圆方程配方化为标准方程
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝．
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－．
∴r1－r2<|C1C2| (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．
(3)解法一：两方程联立，得方程组
，
两式相减得x＝2y－4　③，把③代入②得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2．
∴，或．
∴交点坐标为(－4，0)和(0，2)．
∴两圆的公共弦长为＝2．
解法二：两方程联立，得方程组
，
两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5．
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
∴两圆的公共弦长为2＝2＝2．
〔跟踪练习3〕
圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x＋3y－2＝0__，公共弦长为__10__．
[解析]　已知圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0，①
圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，②
①－②得24x＋18y－12＝0，
即4x＋3y－2＝0．
把圆C1，圆C2化成标准方程分别为
圆C1：(x－6)2＋(y－1)2＝50，圆心为(6，1)，r1＝5；
圆C2：(x＋6)2＋(y＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r2＝5．
则连心线的长|C1C2|＝＝15，
从而r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2．
故两圆相交．
所以两圆公共弦所在的直线方程是4x＋3y－2＝0．
圆C1的圆心到直线的距离
d＝＝5，
故公共弦长为
2＝2＝10．
Y 　两圆的位置有关系考虑不全面致错
典例4 求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[错解]　由题意知，所求圆的圆心为C(a，4)，半径为4，
故可设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心为A(2，1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，
∴(a－2)2＋(4－1)2＝72，
解得a＝2±2，
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
[错因分析]　两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．
[正解]　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由圆C与直线y＝0相切且半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．
①当圆心为C1(a，4)时
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
[警示]　两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．
〔跟踪练习4〕
已知圆A、圆B相切，圆心距为8cm，其中圆A的半径为3cm，则圆B的半径为(　C　)
A．5cm　　　　　　　　　　　 B．11cm
C．11cm或5cm D．无解
[解析]　设OB半径为r，则r＋3＝8或r－3＝8，∴r＝5或11．
X 　
等价转化思想在解决与圆有关问题中的应用
(1)直线与圆相交、相切、相离等价于dr．
(2)直线与圆相交弦长有关问题常利用d2＋()2＝r2及|AB|＝|x1－x2|讨论．
(3)圆过两点A，B，则圆心在线段AB的中垂线上．
(4)直线平分圆(圆周)等价于直线过圆心，等价于直线是圆的对称轴．
(5)圆心角最小等价于弦长最短，等价于圆心与弦中点的连线与弦垂直．
(6)切线长最短等价于点到圆心的距离最小．
(7)圆面积最大等价于圆的周长最大，等价于圆的半径最大．
(8)直线与圆有公共点等价于d≤r，等价于Δ≥0．
(9)直线l与⊙C切于点P，等价于CP⊥l且CP＝r．
(10)过直线l：Ax＋By＋C＝0与⊙C：x2＋y2＋Dx＋EF＋F＝0的交点的圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0．
典例5 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0切于点(3，－)的圆的方程．
[分析]　两圆外切，d＝r1＋r2．圆与直线相切于P，则|PC|＝r，PC与直线垂直．
[解析]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，将x2＋y2－2x＝0化为标准形式(x－1)2＋y2＝1，由题意可得
解得或
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．
〔跟踪练习5〕
过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为__x2＋y2－x＋7y－32＝0__．
[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
其圆心(－，－)在直线x－y－4＝0上，
∴＋－4＝0，∴λ＝－7，
∴圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
K
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　B　)
A．内切　　 B．相交　　
C．外切　　 D．相离
[解析]　∵r1＝3，r2＝2，O1O2＝＝，
∴r1－r2 2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　C　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
[解析]　圆C1，圆心(0，0)，r1＝1，圆C2，圆心(3，4)，r2＝＝，因为圆C1与圆C2外切，所以＝1＋解得m＝9或－34(舍)．故选C．
3．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有(　B　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．0条
[解析]　圆C2可化为：(x－2)2＋(y－5)2＝16，两圆的圆心距离d＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，公切线有3条．
4．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为____．
[解析]　两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋3y＋1＝0，圆x2＋y2－1＝0的圆心为(0，0)，半径长为1，又(0，0)到直线x＋3y＋1＝0的距离为，所以公共弦长为2＝．