高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第1课时课时训练

第五章学习单元5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

A级 必备知识基础练

1.[2023河南南阳高一检测]cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=(　　)

A. B. C.- D.-

2.计算的值是(　　)

A. B.- C. D.-

3.已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于(　　)

A. B. C.- D.-

4.若α∈(0,π),且cosα+=,则cos α等于(　　)

A. B.

C. D.

5.化简cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=　　　　　. 

6.若cos θ=-,θ∈π,,则cosθ-=　　　　　. 

7.[2023山东威海高一月考]已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值.

8.已知sin-α=-,sin+β=,其中<α<<β<,求角α+β的值.

B级 关键能力提升练

9.已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.1

10. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.0

11.(多选题)下列满足sin αsin β=-cos αcos β的有(　　)

A.α=β=90° B.α=-18°,β=72°

C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°

参考答案

学习单元5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

1.B　由两角差的余弦公式可得cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(45°-15°)=cos 30°=,故选B.

2.C　.

3.B　由题意可知cos α=,cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos+sin αsin.

4.C　因为α∈(0,π)且cosα+=,

所以sinα+=.

cos α=cosα+-=.

5.　原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.

6.-　∵cos θ=-,θ∈π,,∴sin θ=-.

∴cosθ-=cos θcos+sin θsin=-=-.

7.解由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.

由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-.

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×-+-×=-1.

又α+β∈,2π,α-β∈,π,∴2β∈.

∴2β=π,则β=.

8.解因为<α<,所以--α<0.

因为<β<,所以+β<.

由已知可得cos-α=,cos+β=-,则cos(α+β)=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=-××-=-.

因为<α+β<π,所以α+β=.

9.B　因为sin α-sin β=1-,所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=.①

又因为cos α-cos β=,所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=.②

所以①+②得2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=,故选B.

10.A　设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9,所以小正方形的边长为,可得cos α-sin α=,①

sin β-cos β=,②

由图可得cos α=sin β,sin α=cos β,可得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=.

11.BC　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.