高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀第2课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀第2课时复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为 ( C )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1
B．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1
C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1
D．以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 ( C )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
[解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.
3．若a>1，则双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是 ( C )
A．(eq \r(2)，＋∞)B．(eq \r(2)，2)
C．(1，eq \r(2))D．(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝eq \f(\r(a2＋1),a).
∴e2＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2).
∵a>1，∴0∴14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为 ( D )
A．eq \r(2)B．2
C．eq \f(3\r(2),2)D．2eq \r(2)
[解析] 由题意，得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.
又因为a>0，b>0，所以a＝b，
渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，
故选D．
5．若实数k满足0A．实半轴长相等B．虚半轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
[解析] ∵06．以双曲线y2－eq \f(x2,3)＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 ( D )
A．(x－2)2＋y2＝4B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋y2＝2D．x2＋(y－2)2＝4
[解析] 双曲线y2－eq \f(x2,3)＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D．
二、填空题
7．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，则a＝__5___.
[解析] ∵双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,a)x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，
∴a＝5.
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝__1___；b＝__2___.
[解析] 由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知eq \f(b,a)＝2，由c＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
三、解答题
9．(1)求与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq \f(\r(5),2)的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为eq \f(x2,9－λ)－eq \f(y2,λ－4)＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5，
∵e＝eq \f(\r(5),2)，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,9－λ)＝eq \f(5,4)，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，
∴可设双曲线标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题设知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且a，b异号，则方程表示 ( D )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[解析] 方程变形为eq \f(x2,\f(b,a))－eq \f(y2,\f(b,a))＝1，由a，b异号知eq \f(b,a)<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．
2．双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1的离心率大于eq \r(2)的充分必要条件是 ( C )
A．m>eq \f(1,2)B．m≥1
C．m>1D．m>2
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．
双曲线离心率e＝eq \r(1＋m)>eq \r(2)，所以m>1，选C．
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是 ( A )
A．(－eq \f(\r(3),3)，eq \f(\r(3),3))B．(－eq \f(\r(3),6)，eq \f(\r(3),6))
C．(－eq \f(2\r(2),3)，eq \f(2\r(2),3))D．(－eq \f(2\r(3),3)，eq \f(2\r(3),3))
[解析] 由双曲线方程可知F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
∵eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，
∴(－eq \r(3)－x0)(eq \r(3)－x0)＋(－y0)(－y0)<0，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3<0，∴2＋2yeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3<0，yeq \\al(2,0)∴－eq \f(\r(3),3)4．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线与圆(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为 ( B )
A．eq \r(5)B．2
C．eq \r(3)D．eq \r(2)
[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意得eq \f(|\r(3)b－a|,\r(b2＋a2))＝1，∴b＝eq \r(3)a.
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝＝eq \r(\f(a2＋3a2,a2))＝2.
5．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是 ( C )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2)))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(7),2)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，＋∞))
[解析] 由条件，得|OP|2＝2ab，
∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，
∴c2＝a2＋b2≥a2＋eq \f(a2,4)＝eq \f(5,4)a2，∴e＝eq \f(c,a)≥eq \f(\r(5),2).
二、填空题
6．已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,m)＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为__y＝±eq \f(4,3)x __.
[解析] ∵方程表示双曲线，∴m>0.
∵a2＝9，b2＝m，
∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝eq \r(9＋m).
∵双曲线的一个焦点在圆上，
∴eq \r(9＋m)是方程x2－4x－5＝0的根，∴eq \r(9＋m)＝5，∴m＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.
7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0) 到一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，则其离心率的值为__2___.
[解析] 双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝eq \f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝b.∴ b＝eq \f(\r(3),2)c，∴ a＝eq \r(c2－b2)＝eq \f(1,2)c，∴ e＝eq \f(c,a)＝2.
三、解答题
8．焦点在x轴上的双曲线过点P(4eq \r(2)，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程.
[解析] 因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， F1(－c,0)，F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4eq \r(2)，－3)，
所以eq \f(32,a2)－eq \f(9,b2)＝1.①
因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以eq \(QF1,\s\up6(→))·eq \(QF2,\s\up6(→))＝0，即－c2＋25＝0，
所以c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
C级 能力提高
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)和椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 __.
[解析] 椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，
∴离心率e1＝eq \f(\r(7),4)，焦点(±eq \r(7)，0)，
∴双曲线的离心率e2＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2)，焦点坐标为(±eq \r(7)，0)，
∴c＝eq \r(7)，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.
2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，其斜率为－eq \r(3)，求双曲线的离心率．
[解析] (1)由题意，eq \f(b,a)＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝eq \f(\r(3),3)，从而n＝eq \f(\r(3),3)m，m2＋n2＝c2，∴A(eq \f(\r(3),2)c，eq \f(c,2))，
将A(eq \f(\r(3),2)c，eq \f(c,2))代入双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得eq \f(3c2,4a2)－eq \f(c2,4b2)＝1，
∴c2(3b2－a2)＝4a2b2，
又c2＝a2＋b2，∴(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
∴3b4－2a2b2－a4＝0，
∴3(eq \f(b,a))4－2(eq \f(b,a))2－1＝0，
∴eq \f(b2,a2)＝1，∴e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，∴e＝eq \r(2).