高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线同步测试题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
双曲线的简单几何性质基础巩固一、选择题1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)A．－＝1 B．－＝1C．－＝1或－＝1 D．以上都不对[答案]　C[解析]　当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A．  B．C．1  D．[答案]　B[解析]　双曲线x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.3．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是(　　)A．±5  B．±3C．25  D．9[答案]　B[解析]　依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．4．若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等[答案]　D[解析]　∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．5.(2015·全国卷Ⅰ理)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)A．(－，)  B．(－，)C．(－，)  D．(－，)[答案]　A[解析]　由双曲线方程可知F1(－，0)，F2(，0)，∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0，即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<，∴－<y0<.6．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)A．m>  B．m≥1C．m>1  D．m>2[答案]　C[解析]　本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C．二、填空题7．双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为__________ ________.[答案]　13[解析]　由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.8．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________ ________，b＝__________ ________.[答案]　1　2[解析]　利用共渐近线方程求解．与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.9．(2015·天津市六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________ ________.[答案]　－＝1[解析]　椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，∴离心率e1＝，焦点(±，0)，∴双曲线的离心率e2＝＝，焦点坐标为(±，0)，∴c＝，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，∴双曲线方程为－＝1.三、解答题10．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．[解析]　(1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，∴c2＝a2＋b2＝5，∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为－y2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.一、选择题1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示(　　)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线[答案]　D[解析]　方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．2．(2015·济南质检)已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x  B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±x[答案]　B[解析]　∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选B．3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(　　)A．y＝±x  B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±2x[答案]　C[解析]　由题意可知2a＝×2c＝c，则4a2＝c2＝a2＋b2，解得＝3，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.4．(2015·安徽理)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1  B．－y2＝1C．－x2＝1  D．y2－＝1[答案]　C[解析]　由双曲线的焦点在y轴上，排除A、B；对于D，渐近线方程为y＝±x，而对于C，渐近线方程为y＝±2x.故选C．二、填空题5．(2015·三峡名校联盟联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则椭圆＋＝1的离心率e＝__________ ________.[答案]　[解析]　由条件知＝，即a＝2b，∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝b，∴e＝＝＝.6．已知双曲线的中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为2，且双曲线两支上的点的最近距离为4，则双曲线的标准方程为__________ ________.[答案]　－＝1[解析]　∵双曲线的实轴在y轴上，∴焦点在y轴上，∵双曲线两支上的点的最近距离为4，即两顶点之间的距离为4，∴a＝2.又∵离心率为2，∴c＝4，∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线的标准方程为－＝1.三、解答题7．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析]　因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1.  ①又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以·＝0，即－c2＋25＝0.所以c2＝25.  ②又c2＝a2＋b2，  ③所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.8.设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．[分析]　由截距式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而求出.[解析]　由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入，平方后整理，得162－16×＋3＝0.令＝x，则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.由e＝有e＝.故e＝或e＝2.因0<a<b，故e＝＝＝>，所以应舍去e＝，故所求离心率e＝2.