人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积获奖教学课件ppt

8.3　第2课时　球的表面积和体积（练习）

(60分钟　90分)

知识点1　球的表面积和体积

1．(5分)把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(    )

A．R B．2R

C．3R D．4R

答案：D

2．(5分)两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两球的半径之差为(   )

A．4 B．3

C．2 D．1

答案：C

3.(5分)若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为        ．

1∶2　解析：V圆锥＝·πR2·2R＝πR3，

V球＝πR3，＝.

4.(5分)一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是        ．

576π cm2　解析：球的体积等于以底面半径为16 cm，高为9 cm的圆柱的体积．设球的半径为R，

所以πR3＝π·162·9，

解得R＝12，所以S球＝4πR2＝576π2(cm2)．

知识点2　与球有关的组合体

5．(5分)表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为(　　)

A．4 π B．2 π 

C．16π D．8π

A　解析：由题可知，4πR2＝16π，R＝2，即球的半径R＝2.设圆柱的底面圆半径为r，则＝2，得r＝，

∴V圆柱＝πr2·2r＝2π·2 ＝4π.

6．(5分)长方体的三个相邻面的面积分别是2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　)

A． B．56π

C．14π D．16π

C　解析：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得得

∴长方体的体对角线长为＝，

∴其外接球的半径为，

∴S球＝4πR2＝14π.

7．(5分)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)

A．4π(r＋R)2　 B．4πr2R2

C．4πRr D．π(R＋r)2

C　解析：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得(2r1)2＝(R＋r)2－(R－r)2，

解得r1＝.

故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.

8.(5分)边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥O­ABCD的体积是        ．

32　解析：正方形ABCD的外接圆半径r＝＝4.

∵球的半径R为5，

∴球心O到平面ABCD的距离d＝＝3，

∴VO­ABCD＝×(4)2×3＝32.

9．(5分)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　)

A．96  B．16

C．24  D．48

D　解析：设球的半径为R，由πR3＝π，

得R＝2.

∴正三棱柱的高为h＝4.

设正三棱柱的底面边长为a，则×a＝2，得a＝4 .

∴V＝×(4 )2×sin 60°×4＝48 .

10．(5分)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断下列近似公式中最精确的一个是(　　)

A．d≈ B．d≈

C．d≈ D．d≈

D　解析：由球体积公式得d＝≈.

因为≈1.777 777 78，≈1.910 828 03，

≈1.909 090 91，

而最接近于，故选D.

11．(5分)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)

A．π B．

C．4π D．32π

C　解析：设正方体的棱长为a.

由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.

设正方体外接球的半径为R，则

a＝2R，∴R＝，

∴V球＝πR3＝4π.

12.(5分)一个球的表面积是144π cm2，它的体积是        ．

288π cm3　解析：设球的半径为R，则4πR2＝144π，∴R＝6.

∴V＝πR3＝π·63＝288π(cm3)．

13.(5分)已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为        ．

3∶2　解析：设球的半径为R，由题意得圆柱的底面半径为R，高为2R，

∴S圆柱表＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，

S球＝4πR2，＝＝.

∴圆柱的表面积与球的表面积之比为3∶2.

14.(12分)已知底面为正三角形，顶点在底面的正投影是正三角形的中心的三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切．求：

(1)棱锥的全面积；

(2)球的半径．

解：(1)如图所示，正三棱锥A­BCD.

由题意可知AE＝1，CD＝2，

∴EF＝××CD＝，

∴侧面的高

AF＝＝，

∴S全＝3×2 ××＋2 ××2  ×

＝9 ＋6 .

(2)设球的半径为R.

由△AOG∽△AFE得＝，

∴R＝－2.

15.(13分)阿基米德在他的许许多多的科学发现当中，最为得意的一个发现是：如图所示，圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的.请你试着证明．

证明：设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，

∴V球＝V柱．

又S柱＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，

∴S球＝4πR2＝S柱．