初中数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用优秀随堂练习题

2.5一元二次方程的应用同步练习湘教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设其有x位同学会，则x满足的关系式为

A.  B.  C.  D.

2. 国家统计局2019年年底发布数据，我国国内生产总值从2014年的54万亿元增长到2019年的80万亿元，且每年的经济增量基本持平，多项经济指标好于预期，设这五年的国内生产总值年平均增长率为p，则根据题中信息，2017年国内生产总值为多少万亿元？

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B开始同时移动，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动若点Q运动ts时，的面积为，则t的值为   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润元与产量件的关系式为，若要使总利润达到99万元，则这种产品应生产   

A. 1000件 B. 1200件 C. 2000件 D. 10000件

5. 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了，则这两年的绿地面积的平均增长率是   

A.  B.  C.  D.

6. 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是

A.  B.  C.  D.

7. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有

A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人

8. 十年后，我班学生聚会，见面时相互间均握了一次手，好事者统计：一共握了780次．你认为这次聚会的同学有人．

A. 38 B. 39 C. 40 D. 41

9. 如图，中，，，点P是斜边AB上一点过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，当的面积为时，则x的值为   

A.  B. 或14 C. 2或或14 D. 2或14

10. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足

A.  B.
C.  D.

11.     对于一元二次方程，古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，三国时期的数学家赵爽约公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x，参考此法，则图中正方形ABCD的面积为    

A. 144 B. 140 C. 137 D. 136

12. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为

A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人不重复转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有111人，则小明给          人发了短信．
14. 有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人．
15. 在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工______人．
16. 某小区2019年的绿化面积为，计划2021年的绿化面积为，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．
17. 某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价______元．
18. 如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为          

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，，，，一动点P从点C出发沿着CB方向以的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为ts．
     

若的面积是面积的，求t的值

的面积能否与四边形ABPQ面积相等若能，求出t的值若不能，说明理由．






 

20. 列方程组解应用题：
    算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？
    
    
    
    
    
    
     
21. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
    求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
    若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图所示，在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，求金色纸边的宽为xcm，求出长和宽各是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图：在中，，，动点P从点A出发，以的速度沿射线AB运动，同时动点Q从点C出发，以的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点设P点运动时间为t秒，的面积为．
    直接写出AC的长：______cm；
    求出S关于t的函数关系式，并求出当点P运动几秒时，．
    
    
    
    
    
    
     
24. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
    求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
    去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
    
    
    
    
    
    
     
25. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
    若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
    在的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
    这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由题意列方程得，
．
故选：B．
此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为解决问题即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为，利用这一基本数量关系类比运用解决问题．
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题为增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据增长率为p，可得年我国国内生产总值分别为，，，，，据此得到答案．
【解答】
解：设这五年的国内生产总值年平均增长率为p，则根据题意可得2015年国内生产总值为：或．
故选D．  

3.【答案】B
 

【解析】略
 

4.【答案】A
 

【解析】略
 

5.【答案】A
 

【解析】略
 

6.【答案】C
 

【解析】解：设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，舍去．
即，
故选：C．
设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额增长率月份的盈利额列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的应用；设该群的人数是x人，则每个人要发给其他人张红包，则共有张红包，等于90个，由此可列方程求解即可．
【解答】
解：设该群共有x人， 
根据题意有，
，
舍去或，
答：这个群共有10人．
故选B．  

8.【答案】C
 

【解析】解：设这次聚会的同学有x人，
依题意得，，
，
，负值舍去．
答：这次聚会的同学有40人．
故选：C．
设这次聚会的同学有x人，每名同学要握手次，共握手次，但是每两名同学只握手一次，需将重复计算的握手次数去掉，即共握手次，然后根据一共握手780次就可以列出方程解决问题．
此题和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：当点Q在AC上时，
，，
，
．
解得：或舍去，
当点Q在BC上时，如下图所示：

，，，
，，
．
，
解得：舍去或．
故选：B．
首先分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论表示出三角形的面积，然后根据已知的面积的值得到一元二次方程求解后根据实际意义取值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况，同时分类讨论也是中考的热点考点，应加强有关训练．
 

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
等量关系为：原价降价的百分率现价，把相关数值代入即可．
【解答】解：第一次降价后的单价为元，第二次降价后的单价为元，．
故选D．  

11.【答案】B
 

【解析】解：由得到：．
所以正方形ABCD的面积，
故选：B．
通过解方程求得的值，然后利用正方形的面积公式得到，代入求值即可．
本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
 

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，难度中等．设路宽为x，则道路面积为，所以所需耕地面积，解方程即可．

【解答】

解：设修建的路宽为x米．

则列方程为，
解得舍去，．
答：修建的道路宽为1米．

故选A．

13.【答案】10
 

【解析】略
 

14.【答案】20
 

【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得，
，

，不合题意，舍去．
所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人．
故答案为：20．
设每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后有人患了流感，第二轮后会传染给人，然后根据第二次被传染的有420人就可以列出方程求解．
此题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，分清题意，准确列式，巧妙利用因式分解法求得方程的解是解题的关键．
 

15.【答案】50
 

【解析】解：设这个公司有员工x人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：50．
设这个公司有员工x人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设每年绿化面积的增长率为x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】6或10
 

【解析】解：设每件降价x元，则平均每天可售出件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
故答案为：6或10．
设每件降价x元，则平均每天可售出件，根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】1
 

【解析】略
 

19.【答案】解：根据题意，得，．
的面积是面积的，
 ，
整理，得，
解得．
当时，的面积为面积的．
的面积不能与四边形ABPQ面积相等．
理由如下：当的面积与四边形ABPQ面积相等时，
则，即，
整理，得．
，
此方程没有实数根 
的面积不能与四边形ABPQ面积相等．
 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：设宽为x步，则长为步，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去，
．
答：长为36步，宽为24步．
 

【解析】设宽为x步，则长为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积等于864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，舍去．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为．
元，
．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
 

【解析】设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入年该贫困户的家庭年人均纯收入增长率，可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得
，
解得：，舍去
则，，
答：矩形挂图的长为90cm，宽为60cm．
 

【解析】利用等量关系应该是：风景画的长个纸边的宽度风景画的宽个纸边的宽度整个挂图的面积，由此可得出方程，求得解进一步求得长和宽．
此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积计算方法建立方程是解决问题的关键．
 

23.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
．
故答案为：．
，，
，
，
即．
当时，，
整理，得：，
，
该方程无解；
当时，，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，．
当点P运动秒时，．
在中，利用勾股定理可求出AC的长；
利用三角形的面积公式可找出S关于t的函数关系式，分和两种情况，找出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：万元．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额前六天的总营业额第七天的营业额，即可求出结论；
设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
 

25.【答案】解：设每个背包的售价为x元，则月均销量为个，
依题意，得：，
解得：．
答：每个背包售价应不高于55元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到3700元．
 

【解析】设每个背包的售价为x元，则月均销量为个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；
根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．