湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系优秀同步达标检测题

2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习湘教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则另一个解为   

A. 1 B.  C. 3 D. 4

2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则m的值是

A. 2 B.  C. 2或 D. 不存在

3. 在解一元二次方程时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，，则原来的方程是

A.  B.
C.  D.

4. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为

A. 1 B.  C. 2 D.

5. 若实数a、b满足，，则的值是

A.  B. 2 C. 2或 D.

6. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是

A. 5 B.  C.  D.

7. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为

A. 0 B. 1 C. 2021 D. 2020

8. 一元二次方程的两根和为

A.  B. 0 C. 10 D. 5

9. 已知关于x的方程的根是整数，若k为整数，则k的值有   ．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为a和b，若，则的值是   

A. 3 B.  C. 5 D.

11. 若方程别为有两个实数根分别为，则    

A.  B.  C.  D. 1

12. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则另一个解为   

A. 1 B.  C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 对于任意实数a、b，定义：若方程的两根记为m、n，则          ．
14. 已知关于x的一元二次方程有两个负数根，那么实数m的取值范围是          ．
15. 如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程的两实数根，DH是AB边上的高，则_____  ．
    
     

16. 一元二次方程的两根分别为，，则的值为______．
17. 设、是方程的两个根，则______．
18. 一元二次方程的两根分别是m、n，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
    求k的取值范围；
    若，求k的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知方程的一个根是，求k的值及它的另一个根．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知：关于x的方程．
    求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
    若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一根．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知关于x的一元二次方程．
    当m满足什么要求时，该方程有两个不相等的实数根？
    若该方程的两个根分别为和，且，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知关于x的一元二次方程．
    求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
    若方程有两个实数根，，且，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
    求m的取值范围．
    是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知方程一个根是，求它的另一个根及k的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题关键．

【解答】解：设方程的另一个解为，
根据题意得，
解得．
故选C．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出

，

，结合

，即可求出m的值．
【解答】

解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，

，
解得，．
该方程有两个不相等的实数根，

，
解得，
．
故选A．

3.【答案】C
 

【解析】解：设此方程的两个根是、，根据题意得：，，
则以、为根的一元二次方程是．
故选：C．
先设这个方程的两根是、，根据两个根是，1和两个根是5，，得出，，从而得出符合题意的方程．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了根与系数的关系．
根据一元二次方程的根与系数的关系即可求方程的另一个根．
【解答】

解：设、是关于x的一元二次方程的两个根，，
，即，
解得，．
即方程的另一个根是2．
故选C．

5.【答案】C
 

【解析】解：当时，原式；
当时，
根据实数a、b满足，，即可看成a、b是方程的解，
，．
则
，
把，代入得：

．
综上可得的值为2或．
故选：C．
分两种情况进行讨论，，，根据实数a、b满足，，即可看成a、b是方程的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解．
本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：由题意可知：，，
，
故选：B．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：，b是方程的两个不相等的实数根，
，，
．
故选：D．
由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出、，将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解及根与系数的关系，找出、是解题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：方程化为一般式得到，
所以方程的两根之和为0．
故选：B．
先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，用分类讨论的思想是解本题的关键．
当时，此方程为一元一次方程，求解判断即可得出结论；
当时，此方程为一元二次方程，先用判别式判断出k为非0实数，然后利用根与系数的关系，即可得出结论．
【解答】
解：当时，原方程可化为，
，此种情况符合题意
当时，原方程为一元二次方程，
关于x的方程有根，
，
为非0实数，
设关于x的方程的两根为，，
根据根与系数的关系得，，，
关于x的方程根都是整数，
，也是整数，
和也是整数，
为整数，
，
即满足条件的k为0或，
故选C．  

10.【答案】D
 

【解析】解：，b为方程的两个不相等的实数根，
，，
，
．
当时，，
符合题意．
 ．
故选D．
 

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
直接利用根与系数的关系求解．

【解答】
解：根据根与系数的关系得．
故选：B．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题关键．

【解答】解：设方程的另一个解为，
根据题意得，
解得．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】解：由题意，
得，
、n为方程的两个根，
，，
．
故答案为．
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形ABCD是边长为5的菱形，
，，，，
，．
对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，，

，，
，
，解得，．
当时，，不符合题意，舍去，即，
则，．
是AB边上的高，
，
，
．

16.【答案】
 

【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
则原式，
故答案为：．
由根与系数的关系得出，，代入到原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 

17.【答案】1
 

【解析】解：、是方程的两个根，
，，
；
故答案为1；
由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入计算即可；
本题考查一元二次方程根与系数的关系
 

18.【答案】6
 

【解析】解：由题意可知：，，
，
，
原式

，
故答案为：6．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：由题意可知，，
整理得：，
解得：，
的取值范围是：．
故答案为：．
由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，，
又由中可知，
的值为．
故答案为：．
 

【解析】根据建立不等式即可求解；
先提取公因式对等式变形为，再结合根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

20.【答案】解：将代入原方程，得，
解得：，
方程为．
方程的另一个根为．
故k的值为1，方程的另一个根为．
 

【解析】将代入原方程可求出k值，再由两根之积等于可求出方程的另一个根，此题得解．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，将代入原方程求出k值是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
设方程的另外一个根为，则，
解得，
即方程的另一根为3．
 

【解析】计算其判别式大于0，即可证得结论；
把代入方程可求得m的值，再利用根与系数的关系即可求得另一根．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，有，也考查了根的判别式．
 

22.【答案】解：根据题意，得：，
解得；

由题意知，，
，即，
，
整理，得：，
解得或舍去，
．
 

【解析】根据根的情况依据判别式列出关于m的不等式，解之可得；
先由韦达定理得出，，根据，即得出，解之可得m的值．
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

23.【答案】解：

，
无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

由根与系数的关系得出，
由得，
解得．
 

【解析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于m的方程，解之可得答案．
 

24.【答案】解：关于x的方程有两个不相等的实数根

解得且
假设存在实数m，使方程两实数根据倒数和为2
设方程的两根为、
，
，

即，
解得，
，
不存在实数m使方程两根的倒数和为2
 

【解析】根据根的判别式即可求出答案．
假设存在实数m，使方程两实数根据倒数和为2，根据根与系数的关系即可求出m的值．
本题考查根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．
 

25.【答案】解：设方程的另一个根的，
根据题意，得：，
解得，
答：方程的另一个根为，k的值为．
 

【解析】设方程的另一个根的，根据韦达定理可列出，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．