湘教版1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）课时训练

这是一份湘教版1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）课时训练，共32页。试卷主要包含了0分），【答案】D，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。


1.2直角三角形的性质和判定（2）同步练习湘教版初中数学八年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是(    )
A. 3−1 B. 32 C. 3 D. 2
2. 如图，等边△ABC的边长为5，点P在AB边上，点Q为BC延长线一点，连结PQ交AC于D，点A关于直线PQ的对称点A恰好落在AB边上，当PA=CQ时，A′B的长为(    )
A. 1.5 B. 43 C. 53 D. 103
3. 如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①∠DAE=∠CBE；②CE⊥DE；③BD=AF；④△AED为等腰三角形；⑤S△BDE=S△ACE，其中正确的有(    )
A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③⑤
4. 一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC=4.当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N.在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2.其中正确的个数是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为(    )
A. 12 B. 32+3 C. 6+33 D. 63
6. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是(    )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7. 如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物.他测得仰角为15∘;沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30∘，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为(    )
A. 2千米 B. 22千米 C. 23千米 D. 332千米
8. 如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是(    )
A. 7+5
B. 10
C. 4+25
D. 11
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A=30°，BD=1，则AB的值是(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm(如图2)，双翼的边缘AC=BD=60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(    )
A. 603+8 B. 602+8 C. 64 D. 68
11. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线DE交BC于D点，垂足为E，BD=10，则AC的长为(    )
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
12. 如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为(    )

A. 6 B. 5 C. 4 D. 33
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4.以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为______．
14. 已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是______．
15. 如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB=∠ADB=90°，CD=m，AB=2m，则∠AEB=______．



16. 如图，P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB=90°，PA=2，PB=2，PC=1，∠APC的度数是______．




三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE.DE为8cm，BE=3cm，求点A距离桌面的高度．








18. 如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°．

(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；
(2)延长CD至E，使DE=BC，连接AE，如图2，那么△ACE是何种形状的三角形？请你写出结论，并给出证明．







19. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
(1)求证：AC=CD；
(2)若AC=AE，求∠DEC的度数．








20. 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，点D在BC的延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F.求证：AD=BF；
(2)如图2，点D在线段BC上，连接AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交AC于F，连接DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DBBC的值．








21. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是______，位置关系是______．
(2)探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．








22. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连结DC．
(1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由(结论中不得含有未标识的字母)；
(2)试判断DC与BE是否垂直？并说明理由．








23. 如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．












24. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，连接BD．
(1)求证：△CDF≌△BED；
(2)若AE=4，FC=3，求AB长．











25. 如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC=BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
(1)求证：△EAF≌△DAF；
(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．








答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．

∵∠DCE=∠KCH=90°，
∴∠DCK=∠ECH，
∵CD=CE，CK=CH，
∴△CKD≌△CHE(SAS)，
∴∠CKD=∠H=90°，
∵∠CKJ=∠KCH=∠H=90°，
∴四边形CKJH是矩形，
∵CK=CH，
∴四边形CKJH是正方形，
∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，
在Rt△CBK中，∵BC=2，∠ABC=60°，∠BCK=30°，
∴BK=12BC=1，
∴CK=3，
∴KJ=CK=3
∴BJ=KJ−BK=3−1，
∴BE的最小值为3−1，
故选：A．
如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J.首先证明四边形CKJH是正方形，推出点E在直线HJ上运动，求出BJ，根据垂线段最短解决问题即可．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

2.【答案】C

【解析】解：过P作PM//BC交AC于M，如图所示：
∵四边形ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵PM//BC，
∴∠APM=∠B=60°，∠AMP=∠ACB=60°，∠PMD=∠QCD，
∴△APM为等边三角形，
∴PA=PM=AM，
∵PA=CQ，
∴PM=CQ，
在△PMD和△QCD中，
∠PQD=∠QCD∠PDM=∠QDCPM=CQ，
∴△PMD≌△QCD(AAS)，
∴PD=QD，
∵点A关于直线PQ的对称点A恰好落在AB边上，
∴PA′=PA，∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=12AD，
∵PA=AM，
∴AA′=AD，PA′=MD，
∴△AA；D是等边三角形，
∴∠AA′D=60°=∠B，
∴A′D//BC，
∵PD=QD，
∴A′B=PA′=PA，
∴A′B=13AB=53；
故选：C．
过P作PM//BC交AC于M，证出△APM为等边三角形，得出PA=PM=AM，证明△PMD≌△QCD(AAS)，得出PD=QD，证明△AA；D是等边三角形，得出∠AA′D=60°=∠B，证出A′D//BC，得出AB=PA′=PA，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．

3.【答案】D

【解析】解：①∵AD为△ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
故①正确
②在△DAE和△CBE中，
AE=BE∠DAE=∠CBEAD=BC，
∴△ADE≌△BCE(SAS)；
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，
∠BDE=∠AFE∠BED=∠AEFAE=BE，
∴△AEF≌△BED(AAS)，
∴BD=AF；
故③正确；
④∵AE≠DE，
∴△ADE不是等腰三角形，
⑤∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故⑤正确；
故选：D．
①由等腰直角三角形的性质可得出结论；
②证明△ADE≌△BCE，可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；
③证明△AEF≌△BED即可；
④AE≠DE，故④不正确；
⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∵∠AFM=∠CFNAF=CF∠A=∠FCN，
∴△AMF≌△CNF(ASA)，
∴MF=NF．
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA=MF=MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为22，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△AMF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；
即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN=12BC=2．
∴DN=2DN=22；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CFMN−S△FMN=S△AFC−S△DEF=4−2=2，
故⑤正确．
故选：C．
利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．

5.【答案】C

【解析】解：∵AB的中垂线l交BC于点D，
∴AD=DB，
∴∠B=∠DAB=15°，
∴∠ADC=30°，
∵∠C=90°，AC=3，
∴AD=6，CD=33．
BC=BD+CD=6+33
故选：C．
利用垂直平分线的性质可得∠DAB=∠B=15°，可得∠ADC=30°，易得AD=BD=2AC，CD=3AC．
本题主要考查了垂直平分线的性质和含30°直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键．

6.【答案】C

【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=∠CAA′=45°，
∵∠1=25°，
∴∠CA′B′=20°=∠BAC，
∴∠BAA′=45°+20°=65°，
故选：C．
根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CA′A=∠CAA′=45°，进而求出∠CA′B′=20°=∠BAC，即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

7.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．如图(见解析)，先根据三角形的外角性质可得∠ACB=15∘，再根据等腰三角形的判定可得BC=AB=4千米，然后利用直角三角形的性质即可得．
【解答】
解：如图，由题意得，∠BAC=15∘，∠CBD=30∘，AB=4千米，CD⊥AD，

∴∠ACB=∠CBD−∠BAC=15∘，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=4千米，
∵CD⊥AD，∠CBD=30∘，
∴在Rt△BCD中，CD=12BC=2千米，
即该建筑物离地面的高度为2千米，
故选A．
  
8.【答案】D

【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，
∴BE=CE=12BC=3，
又∵D是AB中点，
∴BD=12AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC=4，
∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+4+4=11．
故选：D．
根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE，再利用直角三角形斜边中线定理求出DE即可．
本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，中位线定理及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．

9.【答案】D

【解析】
【分析】
此题考查含30°角直角三角形，在直角三角形ABC中，求出∠B的度数，在直角三角形BCD中，可得出∠BCD度数为30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到BC=2BD，由BD的长求出BC的长，在直角三角形ABC中，同理得到AB=2BC，由BC的长即可求出AB的长．
【解答】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
又CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BD=1，
∴BC=2BD=2，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，
则AB=2BC=4．
故选：D．  
10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查含30度角的直角三角形．
过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AE与BF的长度，再根据2AE+AB即可求出通过闸机的物体最大宽度．
【解答】
解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，

∵AC=60cm，∠PCA=30°，
∴AE=12AC=30(cm)，
由对称性可知：BF=AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=60+8=68(cm)．
故选D．  
11.【答案】A

【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=10，
∴∠DAE=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAE+∠B=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AC=12AD=5．
故选：A．
由线段AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，E为垂足，根据线段垂直平分线的性质，可求得DB=AD，继而求得∠DAE=∠B=15°，则可求得∠ADC的度数，然后由含30°的直角三角形的性质，求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质．注意求得∠ADC=30°是关键．

12.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理解答．
【解答】
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，∠DEC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
即CD=BD=6，ED=12CD=3，
∴CE=CD2−ED2=33，
故选D．  
13.【答案】45或8或210

【解析】解：①当AD为斜边时，如图1，

∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵AB=4，
∴AB=CD，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE，AE=EC，
∴AE=EC=2，
由勾股定理得：BE=42+22=25，
∴BD=45，
②当CD为斜边时，如图2，则AD=AC=4，∠DAC=90°，

∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAC=90°+90°=180°，
∴B、A、D共线，
∴BD=AB+AD=4+4=8，
③当AC为斜边时，如图3，

∴∠ADC=90°，
∴AD=CD=AC2=22，
∵∠BCA=45°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
∵AB=AC=4，
由勾股定理得：BC=42+42=42，
BD=BC2+CD2=(42)2+(22)2=210，
综上所述：BD=45或8或210．
故答案为45或8或210．
分三种情况讨论：①当AD为斜边时，如图1，BD=2BE，求BE的长即可；②当CD为斜边时，如图2，BD就是两个AB的长；③当AC为斜边时，如图3，BD就是△BCD的斜边长．
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，也考查了复杂的几何作图；复杂的几何作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；本题利用等腰直角三角形边和角的特殊性与勾股定理、全等三角形相结合，求出边的长．

14.【答案】8

【解析】解：如图，设BD=x．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12−2x，
∴CE=2CF=24−4x，
∴AE=12−CE=4x−12，
∴AD=2AE=8x−24，
∵AD+BD=AB，
∴8x−24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x−24=32−24=8．
故答案为8．
设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论
本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

15.【答案】120°

【解析】解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，

∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴CF=12AB=DF，
又∵CD=m，AB=2m，
∴CD=12AB，
∴CF=DF=CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD=60°，
∴∠AFC+∠BFD=120°，
∵CF=BF，AF=DF，
∴∠AFC=2∠ABE，∠BFD=2∠BAE，
即∠ABE=12∠AFC，∠BAE=12∠BFD，
∴∠ABE+∠BAE=12∠BFD+12∠AFC=12(∠BFD+∠AFC)=12×120°=60°，
∴△ABE中，∠AEB=180°−60°=120°，
故答案为：120°．
取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD=60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE=12∠AFC，∠BAE=12∠BFD．

16.【答案】135°

【解析】解：如图，将△PAC绕C点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，连结PP′．

∴△PAC≌△P′BC，∠PCP′=90°，
∴CP=CP′=1，∠APC=∠CP′B，AP=BP′=2，
∴△PCP′是等腰直角三角形，且PC=1，
∴PP′=2，∠CP′P=45°，
在△BPP′中，∵PP′=2，BP′=2，PB=2，
∴PP′2+BP′2=PB2，
∴△CP′P是直角三角形，∠BP′P=90°，
∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°，
∴∠APC=135°，
故答案为135°．
如图，将△PAC绕C点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，连结PP′.可求PP′=2，∠CP′P=45°，由勾股定理的逆定理可求∠BP′P=90°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．

17.【答案】解：由题意知，AC=BC，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE=3cm，
∵DE=8cm，∴CE=DE−CD=5cm，
∴AD=5cm，
即：点A距离桌面的高度为5cm．

【解析】先利用同角的余角相等，判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，得出AD=CE，CD=3，即可得出结论．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD≌△CBE是解本题的关键．

18.【答案】证明：(1)∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，

(2)△ACE是等腰直角三角形，证明如下：
∵∠ADC+∠ADE=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠ABC=∠ADEBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
即△ACE是等腰直角三角形．

【解析】(1)由∠ABD=∠ADB=45°，得出AB=AD，∠BAD=90°，可得∠BCD=90°，则结论可证；
(2)证出∠ABC=∠ADE，由SAS证得△ABC≌△ADE得出∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，则△ACE是等腰直角三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．

19.【答案】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ABC和△DEC中，∠1=∠D∠3=∠5BC=EC,
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AC=CD；
(2)∵∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠2=∠D=45°，
∵AE=AC，
∴∠4=∠6=67.5°，
∴∠DEC=180°−∠6=112.5°．

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
(1)根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论；
(2)根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠2=∠D=45°，根据等腰三角形的性质得到∠4=∠6=67.5°，由平角的定义得到∠DEC=180°−∠6=112.5°．

20.【答案】(1)证明：如图1中，

∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF=∠BCF=90°，
∵∠AFE=∠CFB，
∴∠DAC=∠CBF，
∵BC=CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF=AD．

(2)结论：BD=2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．

∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，
∴∠DAC=∠AEH，∵AD=AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD=AH，EH=AC=BC，
∵CB=CA，
∴BD=CH，
∵∠EHF=∠BCF=90°，∠EFH=∠BFC，EH=BC，
∴△EHF≌△BCF，
∴FH=CF，
∴BC=CH=2CF．
(3)DBBC=23．

【解析】
【分析】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
(2)结论：BD=2CF.如图2中，作EH⊥AC于H.只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；
(3)利用(2)中结论即可解决问题；
【解答】
解：(1)(2)见答案；
(3)如图3中，同法可证BD=2CM．

∵AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，
∴DBBC=2a3a=23．  
21.【答案】解：(1)AE=BD；AE⊥BD；
(2)结论：AE=BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，即AE⊥BD．
(3)①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE=CD，∠ECD=90°，CH⊥DE，
∴EH=DH，CH=12DE=5，
在Rt△ACH中，∵AC=13，CH=5，
∴AH=132−52=12，
∴AD=AH+DH=12+5=17．
②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H．

同法可得：AH=12，故AD=AH−DH=12−5=7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．

【解析】
【分析】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)延长AE交BD于H.只要证明△ACE≌△BCD即可；
(2)结论不变．延长AE交BD于H，交BC于O.只要证明△ACE≌△BCD即可；
(3)分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】
解：(1)如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH=90°，
∴∠EHB=90°，即AE⊥BD，
故答案为AE=BD，AE⊥BD．
(2)见答案；
(3)见答案．  
22.【答案】解：(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAC=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)DC⊥BE，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠ADC+∠AFD=90°，
∴∠AEB+∠AFD=90°，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AEB+∠CFE=90°，
∴∠FCE=90°，
∴DC⊥BE．

【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质可以得出△ABE≌△ACD；
(2)由△ABE≌△ACD可以得出∠AEB=∠ADC，进而得出∠AEC=90°，就可以得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．

23.【答案】证明：如图，连接DM，DN，

∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC=∠CNB=90°，
∵D是BC的中点，
∴DM=12BC，DN=12BC，
∴DM=DN，
又∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN．

【解析】连接DM，DN，根据直角三角形的性质得到DM=12BC，DN=12BC，可得到DM=DN，根据等腰三角形的性质即可证明．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形判定与性质及直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，D为AC边的中点．
∴BD=CD，∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC．
∴∠BDF+∠CDF=90°．
又∵DE⊥DF，
∴∠BDF+∠BDE=90°，
∴∠CDF=∠BDE．
在△CDF和△BDE中，
∠ABD=∠CBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△CDF≌△BDE(ASA)；
(2)解：∵△CDF≌△BDE，
∴BE=CF=3，
又AE=4，
∴AB=AE+BE=7．

【解析】(1)根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的性质证明即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中证得△CDF≌△BDE是解题的关键．

25.【答案】证明：(1)∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=45°，
∴∠EAF=180°−∠BAC=135°，∠DAF=∠CAD+∠BAC=135°，
∴∠EAF=∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
AE=AD∠EAF=∠DAFAF=AF，
∴△EAF≌△DAF(SAS)；
(2)如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，

∵FA⊥FM，∠FAM=45°，
∴∠FMA=45°=∠FAM，
∴FA=FM，∠FMC=∠FAE=135°，
∵EF=FC，
∴∠FEM=∠FCA，
在△AEF和△MCF中，
∠FEM=∠FCA∠EAF=∠CMFAF=FM，
∴△AEF≌△MCF(AAS)，
∴∠AFE=∠MFC，EF=DF，
∵△EAF≌△DAF，
∴∠EFA=∠DFA，
∴∠DFA=∠MFC，
∴∠AFM=∠DFC=90°，
∵DF=EF=CF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠DCF=45°．

【解析】(1)由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论；
(2)过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．