2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）3-2 代数式（2）（解析版）练习题

3.2  代数式（2）

（满分100分     时间：40分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16．．．．．．这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有（为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

先根据题意用含n的式子表示出三角形数，正方形数，根据任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和即可求解．

【详解】

解：由题意得三角形数3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，

∴第n个三角形数为，第n+1个三角形数为；

由题意得正方形数为1=12，4=22，9=32，…，

∴第n个正方形数为，

∴．

故选：D

【点睛】

本题根据图形找规律，理解“三角形数、正方形数”的定义，并能表示出来是解题关键．

2．下列图案是由一些大小相同的圆按一定的规律拼成的，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有10个圆，第4个图案中有17个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第10个图案中黑色圆点的个数为（ ）

A．65 B．101 C．82 D．132

【答案】B

【分析】

观察图形，发现第几个图形就是几的平方加1，根据规律可求．

【详解】

解：第1个图案中有1+1=2个黑色圆点，

第2个图案中有1+22=5个黑色圆点，

第3个图案中有1+32=10个黑色圆点，

…，

按此规律排列下去，则第n个图案中黑色圆点的个数为n2+1，

∴第10个图案中黑色圆点的个数为102+1=101，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色圆点的个数为n2+1．

3．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗；③中共有11颗星，图形①中共有17颗星，……，按此规律，图形⑦的颗数是（    ）

A．43 B．45 C．41 D．536

【答案】C

【分析】

设图形n中星星的颗数是（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．

【详解】

解：设图形n中星星的颗数是（n为正整数）

∵ =2=1+1

=6=(1+2)+3

=11=(1+2+3)+5

=17=(1+2+3+4)+7

∴

∴

故选：C．

【点睛】

本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．

4．观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（    ）

A．59 B．75 C．81 D．93

【答案】B

【分析】

根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，可知第n个图形中小圆圈的个数为3+(n-1)×n．

【详解】

解：根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为3+8×9=75，

故选：B．

【点睛】

本题考查了图形变化规律，根据图形中小圆圈的增长变化特点，找到变化规律是解题关键．

5．观察图形的变化规律,则第10个小房子用了（   ）颗石子．

A．119 B．121 C．140 D．142

【答案】C

【分析】

根据前4个图形归纳类推出一般规律，由此即可得．

【详解】

第1个小房子所用石子的颗数为，

第2个小房子所用石子的颗数为，

第3个小房子所用石子的颗数为，

第4个小房子所用石子的颗数为，

归纳类推得：第n个小房子所用石子的颗数为，其中n为正整数，

则第10个小房子所用石子的颗数为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了用代数式表示图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

6．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．

【详解】

，

，

，

归纳类推得：，其中n为正整数，

则，

故选：B．

【点睛】

本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

二、填空题

7．如图，在数轴上，点表示1，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第2次将点向右平移6个单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点…，则第2020次移动到点时，在数轴上对应的实数是_________．

【答案】3031

【分析】

序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答．

【详解】

解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1-3=-2；

第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为-2+6=4；

第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4-9=-5；

第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为-5+12=7；

第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8；

第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为-8+18=10；

…；

发现序号是偶数的点在正半轴上，

A2：4，

A4：7=4+3×1，

A6：10=4+3×2，

A2n：4+3×（n-1），

则点A2020表示：4+3×1009=3031，

故答案为：3031．

【点睛】

此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前六次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答．

8．已知一列数，，…，满足＋＋…＋＝×（1＋2＋…＋2021），且＝＝…＝＝，则＝_____________ ．

【答案】-3

【分析】

先将绝对值内的所有式子相加，从而出现，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可．

【详解】

解：

∵

∵

．

∴绝对值内的2021个式子相加等于0，且它们的绝对值相等，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了数字的变化类，根据数字的变化寻找规律是解决本题的关键．

9．按下图左面的规律，得右面的三角形数表

如果把上述三角形数表中的数从小到大排成一列数：……请你写出第60个数________．（可以用幂的形式表示）

【答案】

【分析】

通过观察可知，第n行的数为：，，，…，，则前n行数的个数为1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝10时，，即可推出第60个数是第11行第5个数，进而可求出第60个数．

【详解】

解：根据规律，第n行的数为：，，，…，，

∵第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第n行有n个数，

∴1＋2＋3＋…＋n＝，

当n＝10时，

∴第60个数是第11行第5个数，

则第60个数为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查找规律，解题的关键是认真观察给出的图形，找出规律．

10．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，，分别记为，，，，，那么的值是______．

【答案】66

【分析】

由已知数列得出an=1+2+3+…+n=，再求出a10、a11的值，代入计算可得．

【详解】

解：由，，，，知=1+2+3+…+n=，

= =66．

故答案为:66．

【点睛】

本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an=1+2+3++n=．

11．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一．如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则①f（3）＝_____，②f（n）＝_____．

【答案】7       

【分析】

根据移动方法与规律发现，随着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号，然后把最大的金属片移动到3号，再用同样的次数从2号移动到3号，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．

【详解】

解：设f（n）是把n个盘子从1号移到3号过程中移动盘子之最少次数

n＝1时，f（1）＝1；

n＝2时，小金属片→2号，大金属片→3号，小金属片从2号→3号，完成，即f（2）＝3＝22−1；

n＝3时，小金属片→3号，中金属片→2号，小金属片从3号→2号，[用f（2）种方法把中、小两金属片移到2号，大金属片3号；再用f（2）种方法把中、小两金属片从2号→3号，完成]，

f（3）＝f（2）×2＋1＝3×2＋1＝7＝23−1，

f（4）＝f（3）×2＋1＝7×2＋1＝15＝24−1，

…

以此类推，f（n）＝f（n−1）×2＋1＝2n−1，

故答案为：7；2n−1．

【点睛】

本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．

三、解答题

12．观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：

，

，

，

．

（1）试猜想____________；

（2）试猜想____________；

（3）按上述规律计算：的值．

【答案】（1）400；（2）；（3）1019621

【分析】

（1）根据2n-1=39，确定n=20，根据规律确定答案；

（2）设2m-1=2n+3,确定m=n+2，根据规律确定答案即可；

（3）变形为

-，根据规律计算即可；

【详解】

（1）∵2n-1=39，∴n=20，根据规律，得=400；

（2）设2m-1=2n+3, ∴m=n+2，根据规律，得

；

（3）根据题意，得

原式=

-，

==1019621．

【点睛】

本题考查了数字规律的猜想，根据观察，发现连续奇数的和等于连续奇数个数的平方是解题的关键．

13．观察下列各式：

，而，∴；

，而，∴；

，而，∴；

根据以上规律填空：

（1）___________．

（2）___________．

（3）求．

【答案】（1）1+2+3+4+5，225；（2）1+2+3+…+n，；（3）11375．

【分析】

（1）观察所给的各式即可得到答案；

（2）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；

（3）先利用所得规律计算出13+23+33+…+153、13+23+33+…+103，再由113+123+133+143+153=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）计算可得答案．

【详解】

解：（1）根据以上各式可知，13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225，

故答案为：1+2+3+4+5，225；

（2）根据题意知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=，

故答案为：1+2+3+…+n，；

（3）∵13+23+33+…+153=（）2=14400，

13+23+33+…+103=（）2=3025，

∴113+123+133+143+153=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）=14400-3025=11375．

【点睛】

本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方．

14．观察下列等式：

，，……

（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______．

（2）直接写出下面算式的结果：____________；

以下两小题，需写出解答过程：

（3）计算：

（4）探究并计算：．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

（1）观察题干中所给的式子可得结果；

（2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；

（3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果；

（4）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果．

【详解】

解：（1）由题意可得：

=；

（2）由题意可得：

=

=

=；

（3）

=

=

=；

（4）

=

=

=

=

=

=

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，数字型规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法．