2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题08 代数式中的解答题压轴题（2）（解析版）

专题08  《代数式》中的解答题压轴题（2）

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、解答题：

1. 一般情况不成立，但有些数可以使得它成立，例如：。我们称使得成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为。

若是“相伴数对”，求b值；

写出一个“相伴数对”，其中，且；

若是“相伴数对”，求代数式的值。

【答案】解：是“相伴数对”，
，
解得：；
答案不唯一；
由是“相伴数对”可得：，即，
即，
则原式．

【解析】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；
写出一个“相伴数对”即可；
利用“相伴数对”定义得到，原式去括号整理后代入计算即可求出值．
 

2. 某织布厂有工人200名，为改善经营，增设了制衣项目，已知每人每天能织布30米，或利用所织布料制衣4件，制衣一件用布米，将布直接出售，每米可获利2元；将布制成衣后出售，每件获利25元．每名工人一天只能做一项工作．现安排x名工人制衣，其余工人织布．

公司一天中制衣所获得的利润为____元；剩余布出售所获利润为____元；总利润为____元．

当安排166名工人制衣时，所获总利润是多少？

能否安排167名工人制衣以提高利润？请说明理由．

【答案】解：；；；
当时，总利润元．
答：当安排166名工人制衣时，所获总利润是16648元；
不能安排167名工人制衣．
理由如下：因为若安排167名工人制衣，
则织布工人有人，
33名工人所织的布为：米，
167名制衣工人用布：米，
33名工人所织的布不够167人制衣所用，造成窝工，
所以不能安排167名工人制衣以提高利润．

【解析】

【分析】
本题主要考查的是列代数式，代数式的值的有关知识找出数量关系是列代数式的关键．
名工人制衣，每人每天制衣4件，每件可获利25元，所以一天中制衣所获得的利润为制衣总数利润，根据剩余布料每米布料的单价即可计算剩余布料的利润，进而可求总利润； 
根据总利润制衣利润布的利润将代入即可求解；
，关系式为：衣服用布应不大于共有布．
【解答】
解：由题意得：
制衣所获得的利润为元，
剩余布出售所获利润为元，
总利润元．
故答案为100x；；；
见答案；
见答案．  

3. A、B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司年薪两万元，每年加工龄工资400元，B公司半年薪一万元，每半年加工龄工资100元，求A、B两家公司，第n年的年薪分别是多少，从经济角度考虑，选择哪家公司有利？

【答案】解：第n年在A公司的收入为：元，
第n年上半年在B公司的收入为：元，
第n年下半年在B公司的收入为：元，
则第n年在B公司的收入是元，
由于元，
说明在B公司的收入大于在A公司的收入，故选B公司有利．

【解析】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．此题为文字阅读题，学生要养成仔细阅读理解的习惯．根据题意列出A、B两公司第n年的年薪的代数式，对这两个式子进行比较即可．
 

4. 如图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图形1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：．

当时，我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，，

则最底层最左边这个圆圈中的数是多少？当有n层时，最底层最左边这个圆圈中的数又是多少？只列代数式不要求化简

当时，我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，

，则这时最底层最左边这个圆圈中的数是多少？并求出此时所有圆圈中各数的绝对值之和．

如果我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，一直往下填，整数1024在第几层，左起第几个？直接写出答案

【答案】解：当时，图中共有：个圆圈；
最底层最左边这个圆圈中的数是；
当有n层时，最底层最左边这个圆圈中的数是

所以这172个整数里有23个负数，1个0，148个正数

所以最底层最左边的数为148

总共所有圆圈有23个负数，1个0，166个正数




当时，，
，则第46层第一个数为1011，
则1024第46层，左起第13个．

【解析】此题主要考查了图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：．
根据图形中圆圈的个数变化规律得出答案即可；
层时最底层最左边这个圆圈中的数是第18层的最后一个数加1；首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．
使得出，，则第46层第一个数为1011，则1024第46层，左起第13个．
 

5. 小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元到市场出售．

求售出100个手机充电宝的总售价为多少元结果用含m，n的式子表示？

由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．

她的总销售额是多少元？

相比打折后销售利润，小丽打折前多盈利多少元结果用含m、n的式子表示？

若，小丽实际销售完这批充电宝的利润率为多少？利润率利润进价

【答案】解：每个充电宝的售价为元，
售出100个手机充电宝的总售价为元．
实际总销售额为：元．
实际盈利为元，
，
相比折后利润，她折前能多盈利元．
当时，小丽实际销售完这批充电宝的利润为元，
利润率为故答案为：．

【解析】本题主要考察列代数式解决实际问题其主要思路是读清题意，依题意列出相关的代数式并化简即可．
总售价售出的单价售出的数量．
总销售额为60个以单价的产品售价与40个打折销售的产品售价之和．
打折前的销售额减去打折后的销售额为打折前多盈利的金额．
因为m与n存在关系，结合利润率公式可得答案．
 

6. 某农户承包果园若干亩，投资25000元后收获水果总产量为20000千克，这种水果运到市场上销售每千克售a元，在果园直接售出每千克售b元。该农户若将水果运到市场出售，需要3个人帮忙，每人每天付工资100元，平均每天可售出1000千克，同时平均每天还需支付农用车运费及其他各项税费200元。分别用a，b表示两种方式出售水果后的收入；
   若元，元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好；

该农户准备加强果园管理，明年采用了中较好的出售方式出售，争取明年的利润达到78000元，那么利润增长率是多少利润总收入总支出；

若，且k是整数，若两种出售水果的方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好．

【答案】解：将这批水果拉到市场上出售收入为：元，
在果园直接出售水果的纯收入：元，

当时，市场收入为元．
当时，果园收入为元．
因为，所以应选择在市场出售；

因为今年的纯收入为元，

．
所以增长率为．
，且k是整数，
，，
当时，，在市场销售的收入为
元
在果园销售的收入为元
运到市场出售方式较好，
当时，，在市场销售的收入为
元
在果园销售的收入为元
运到市场出售方式较好．

【解析】本题考查了根据实际问题列代数式，代数式的值把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键是读懂题意，正确表达．

市场出售收入水果的总收入额外支出．而水果直接在果园的出售收入为：20000b．
根据中得到的代数式，将，，代入代数式计算即可．
根据的数据，首先确定今年的最高收入，然后计算增长率即可．
根据，且k是整数的条件，代入计算比较即可．

7. 历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这个问题，有很多计算公式两个通用计算公式和一些分段计算公式，其中最著名的是蔡勒公式，即这个公式主要是应用于1582年之后的公式公式中的符号含义如下，w：星期；c：世纪；y：年两位数；m：月大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算；d：日；代表取整，即只要整数部分是世纪数减一，y是年份后两位，m是月份，d是日数月和2月要按上一年的13月和14月来算，这时c和y均按上一年取值算出来的w除以7，余数是几就是星期几如果余数是0，则为星期日以2049年10月1日周年国庆为例，用蔡勒公式进行计算，过程如下：

 


除以7余
即2049年10月1日周年国庆是星期五．

实践一：我们青岛的中考一般是安排在每年的6月11号开始，请同学们按照这个公式计算出2019年6月11号是星期几呢请写出具体的过程．

实践二：斯蒂芬威廉霍金1942年1月8日至2018年3月14日，男，出生于英国牛津，英国剑桥大学著名物理学家，现代最伟大的物理学家之一、20世纪享有国际盛誉的伟人之一．

请同学们计算出科学家霍金出生于星期几呢

【答案】解：由2019年6月11号得：，，，，




除以7余，
即2019年6月11日是星期二；
科学家霍金出生于1942年1月8日，他应看成为1941年13月8日，
，，，，




除以7余，
科学家霍金出生于星期四．

【解析】此题考查了情景信息问题，理解题目中给出的信息是解题度关键．
由2019年6月11号得：，，，，然后代入公式可得答案；
科学家霍金出生于1942年1月8日，他应看成为1941年13月8日，则，，，，然后代入公式可得答案．
 

8. 金秋十月，又到了食蟹的好季节啦某经销商去水产批发市场采购大闸蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的大闸蟹．零售价都为60元千克，批发价各不相同．

A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的优惠；超过200千克，则按零售价的优惠．

B家的规定如表：

如果他批发80千克大闸蟹，则他在A家批发需要_____元，在B家批发需要_____元；

如果他批发x千克大闸蟹，则他在A家批发需要_________元用含x的代数式表示，在B家批发需要___________元用含x的代数式表示；

现在他要批发160千克大闸蟹，你能帮他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．

【答案】解：；4380 ；
  54x；；
解：当时，
A：，
B：，
，
家优惠．

【解析】

【分析】
这是一道考查列d代数式与代数式的值d的题目，解题关键在于根据题意列出代数式．
根据表格和题干即可求出答案；
根据表格即可列出代数式；
将x的值分别代入中代数式，比较大小即可．
【解答】
解：：元，
B：元．
故答案为4416；4380 ；
：，
 B：
故答案为  54x；；
见答案．  

9. 已知，对任意自然数b，，d中任意两个数字均不相同且都不为，若取其中两个数字，前面的数大于后面的数，那么我们就称其为t的一个逆序，若前面的数小于后面的数，那么我们就称其为t的一个顺序．在一个数t中，逆序的总数称为这个数的逆序数，记作；顺序的总数称为这个数的顺序数，记作．

例如：2431中，21、43、41、31是2431的逆序，故F；

      2431中，24、23是2431的顺序，故．

求的值；

若自然数，且能被5整除，求t的值；

已知时，，请直接写出的值．用含n，k的代数式表示

【答案】解：：41，43，71，73，
，
2179：27，29，17，19，79，
，
；
，，，，共个
，，，共个
以此类推，则，
能被5整除，
能被10整除，则或；
当时，；当时，．
．

【解析】本题考查了数字字母规律和新定义的知识点，解题关键点是弄清题意，列出算式进行计算．
根据新定义进行判定，即可解答；
先由题意推出，由能被5整除，可知能被10整除，再分别代入计算，即可解答；
根据题意列出算式，即可解答．
 

10. 如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，已知小长方形的长为x，宽为，按照图中所示尺寸解决下列问题：

请用两种不同的方法表示大长方形的长；

求的值用含a，b的式子表示．

【答案】解：大长方形的长，

或，大长方形的长；

由可得：

，

，

．

【解析】此题考查列代数式的知识，仔细观察图形，根据图形的特点获取信息是解题的关键．

由图形可知大长方形的长与a，b及小长方形的长，宽的关系，列出代数式即可；

根据大长方形的长不变，列出等式，求出即可．

11. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下注：水费按月份结算：

请根据上表的内容解答下列问题：

填空：若某户居民2月份用水4立方米，则应收水费________元；

若该户居民3月份用水a立方米其中，则应收水费________元；用含a的代数式表示，并化简

若该户居民4、5两个月共用水15立方米月份用水量超过了4月份，设4月份用水x立方米，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？用含x的代数式表示，并化简

【答案】解：；
；
当时，则，
应收水费为：元；
当时，则，
应收水费为：元；
当，则，
应收水费为：元，
故当时，应收水费为元；
当时，应收水费为元；
当，应收水费为36元．

【解析】

【分析】
本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，运用分类讨论的数学思想解答．
根据表格可以求得该户居民2月份应缴纳的水费；
根据表格可以求得该户居民3月份用水其中应缴纳的水费；
根据题意分三种情况，可以求得该户居民4，5两个月共交的水费．
【解答】
解：元
故答案为8；
元，
应收水费为元；
故答案为；
见答案．  

12. 某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元千克，批发价各不相同．

A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的优惠；
批发数量不超过2000千克，按零售价的优惠；
超过2000千克的按零售价的优惠．

B家的批发价格采用分段计算方法，规定如下表：

B家示例：某人批发苹果2100千克，则总费用为元．
如果他批发600千克苹果，则他在A家批发需要_______________元，在B家批发需要_________________元；

如果他批发x千克苹果，则他在A家批发需要_____________________元，在B家批发需要____________________________元用含x的代数式表示；

现在他要批发1800千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．

【答案】解：；3360；
；；
现在他要批发1800千克苹果，他选择在B家批发更优惠．
理由：当他要批发1800千克苹果时，他在A家批发需要：元，
当他要批发1800千克苹果时，他在B家批发需要：元，
，
现在他要批发1800千克苹果，他选择在B家批发更优惠．

【解析】

【分析】
本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，并且可以求相应的代数式的值．
根据题意和表格可以得到他批发600千克苹果时，在A、B两家批发各需要花费多少钱，从而本题得以解决；
根据题意和表格可以得到他批发x千克苹果时，在A、B两家批发个需要花费多少钱，从而本题得以解决；
将分别代入求得的两个式子，计算出结果，然后进行比较，即可解答本题．
【解答】
解：由题意可得，
当批发600千克苹果时，在A家批发需要：元，
当批发600千克苹果时，在B家批发需要：元．
故答案为3312，3360；
由题意可得，
当他批发x千克苹果，他在A家批发需要：元，
当他批发x千克苹果，他在B家批发需要：元．
故答案为，；
见答案．