高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时随堂练习题

第五章　5.5.1 第3课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知＝2，则tan的值是(　C　)

A．2 B．－2　

C． D．－

[解析]　由＝2，得tan＝＝.

2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于(　C　)

A．2 B．1

C． D．4

[解析]　∵tan(α＋β)＝，

∴tan α·tan β＝1－＝1－＝，故选C．

3．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　C　)

A． B．－

C．7 D．

[解析]　易知tan α＝－.

tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝＝7.

4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是(　B　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，得

＝－1，即tan(A＋B)＝－1.

∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，

∴C＝，cos C＝.

5．在△ABC中，若0<tan Btan C<1，则△ABC是(　B　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．形状不能确定

[解析]　∵0<tan Btan C<1，∴B，C均为锐角，

∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cos A<0，∴A为钝角．

6．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　B　)

A． B．－

C．或－ D．－或

[解析]　由韦达定理得

tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，

∴tan(α＋β)＝＝＝，

又－<α<，－<β<，

且tan α<0，tan β<0，

∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.

二、填空题

7．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为－2．

[解析]　因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.

8．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为．

[解析]　tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]

＝＝＝.

9．tan 70°＋tan 50°－tan 50°tan 70°＝－．

[解析]　∵tan 70°＋tan 50°＝tan 120°(1－tan 50°·tan 70°)

＝－＋tan 50°·tan 70°

∴原式＝－＋tan 50°·tan 70°－tan 50°·tan 70°

＝－.

三、解答题

10．已知sin α＝－且α是第三象限角，求tan的值．

[解析]　∵sin α＝－且α是第三象限角，

∴cos α＝－＝－＝－.

∴tan α＝＝3.

∴tan＝＝＝.

11．已知tan＝，tan＝2，求：

(1)tan；

(2)tan(α＋β)．

[解析]　(1)tan＝tan

＝

＝＝－.

(2)tan(α＋β)＝tan

＝

＝＝2－3.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知α∈，tan＝－3，则sin α＝(　A　)

A． B．－

C． D．±

[解析]　tan α＝tan

＝＝－，

∵α∈，

∴α∈，∴sin α＝＝，故选A．

2．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　CD　)

A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－

C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A

[解析]　∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，

∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝＝，∴A，B都错；

∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，

∴tan A·tan B＝①，

又tan A＋tan B＝②，

由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确，故选CD．

3．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于(　D　)

A．－ B．

C．－ D．3

[解析]　∵(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，

∴tan αtan β＋3(tan α＋tan β)

＝tan α－2①

∵tan(α＋β)＝＝，

∴3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)，②

将②代入①得＝tan α－2，∴tan α＝＋2＝3.

4．已知tan(α＋2β＋)＝，tan ＝，那么tan 等于(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　tan ＝

tan

＝

＝＝，故选B．

二、填空题

5．已知tan＝，tan＝－，则tan＝．

[解析]　tan＝tan

＝＝.

6．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝7，则tan 2β＝－．

[解析]　tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]

＝＝＝－.

7．(2022·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝．

[解析]　∵sin Acos B＝3sin Bcos A，∴tan A＝3tan B，

又B＝A－，

∴tan B＝tan＝，

即tan B＝，

∴3tan2B－2tan B＋1＝0，∴tan B＝，

又B为三角形的内角，∴B＝.

三、解答题

8．已知tan α，tan β都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．

[解析]　由题意得

，

解得m≤且m≠0.

且tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝.

∴tan(α＋β)＝＝＝－m.

又m≤且m≠0，

∴tan(α＋β)的最小值为－＝－.

9．是否存在锐角α和β，使得下列两式

①α＋2β＝π　②tantan β＝2－同时成立？

[解析]　存在α＝，β＝，使①②同时成立．

假设存在符合题意的锐角α和β，

由(1)知：＋β＝，

∴tan＝＝，

由(2)知tantan β＝2－，∴tan＋tan β＝3－，

∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，

得x1＝1，x2＝2－.

∵0<α<，则0<tan<1，

∴tan≠1，即tan＝2－，tan β＝1.

又∵0<β<，则β＝，代入(1)，得α＝，

∴存在锐角α＝，β＝，使①②同时成立．