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    高中数学课后训练十第六章平面向量及其应用6.4.1_6.4.2平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例含解析新人教A版必修第二册

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步练习题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步练习题,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.在△ABC中,若(eq \(CA,\s\up7(→))+eq \(CB,\s\up7(→)))·(eq \(CA,\s\up7(→))-eq \(CB,\s\up7(→)))=0,则△ABC( )
    A.是正三角形 B.是直角三角形
    C.是等腰三角形 D.形状无法确定
    C [由条件知eq \(CA,\s\up7(→))2=eq \(CB,\s\up7(→))2,即|eq \(CA,\s\up7(→))|=|eq \(CB,\s\up7(→))|,即△ABC为等腰三角形.]
    2.某人在静水中游泳的速度为eq \r(3) km/h,水流的速度为1 km/h,他沿着垂直于对岸的方向前进,那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为( )
    A.90° B.60° C.45° D.30°
    B [如图,eq \(OA,\s\up7(→))表示水速,用eq \(OB,\s\up7(→))表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度 .
    则他的实际前进的方向与水流方向的夹角为∠AOC.
    因为tan∠AOC=eq \f(\r(3),1)=eq \r(3),所以∠AOC=60°.
    故选:B.]
    3.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )
    A.40 N B.10eq \r(2) N C.20eq \r(2) N D.40eq \r(2)N
    B [如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知当它们的夹角为90°时,|F|=eq \r(2)|F1|=20 N,所以|F1|=|F2|=10eq \r(2) N.当它们的夹角为120°时,|F|=|F1|=10eq \r(2) N.]
    4.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足eq \(OP,\s\up7(→))=eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(AC,\s\up7(→))),则|eq \(AP,\s\up7(→))|等于( )
    A.2 B.1 C.eq \f(1,2) D.4
    B [设BC边的中点为M,则eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(AC,\s\up7(→)))=eq \(AM,\s\up7(→)),
    ∴eq \(OP,\s\up7(→))=eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(AM,\s\up7(→))=eq \(OM,\s\up7(→)),
    ∴P与M重合,
    ∴|eq \(AP,\s\up7(→))|=eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up7(→))|=1.]
    5.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    A [建立平面直角坐标系,如图所示.设AD=t(t>0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),
    则eq \(AC,\s\up7(→))=(1,t),eq \(BC,\s\up7(→))=(-1,t).
    由AC⊥BC知eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))=-1+t2=0,解得t=1,故AD=1.]
    二、填空题
    6.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进方向夹角为30°,纤夫的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为________J.
    1 500eq \r(3) [所做的功W=60×50×cs 30°=1 500eq \r(3)(J).]
    7.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))=4.则点P的轨迹方程是________.
    x+2y-4=0 [eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))=(x,y)·(1,2)=x+2y=4,
    ∴x+2y-4=0.]
    8.在四边形ABCD中,已知eq \(AB,\s\up7(→))=(4,-2),eq \(AC,\s\up7(→))=(7,4),eq \(AD,\s\up7(→))=(3,6),则四边形ABCD的面积是________.
    30 [eq \(BC,\s\up7(→))=eq \(AC,\s\up7(→))-eq \(AB,\s\up7(→))=(3,6)=eq \(AD,\s\up7(→)).
    又因为eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))=(4,-2)·(3,6)=0,
    所以四边形ABCD为矩形,
    所以|eq \(AB,\s\up7(→))|=eq \r(42+-22)=2eq \r(5),
    |eq \(BC,\s\up7(→))|=eq \r(32+62)=3eq \r(5),
    所以四边形ABCD的面积S=|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(BC,\s\up7(→))|=2eq \r(5)×3eq \r(5)=30.]
    三、解答题
    9.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
    [解] 设eq \(AD,\s\up7(→))=a,eq \(AB,\s\up7(→))=b,则eq \(BD,\s\up7(→))=a-b,eq \(AC,\s\up7(→))=a+b,
    而|eq \(BD,\s\up7(→))|=|a-b|=eq \r(,a2-2a·b+b2)=eq \r(,1+4-2a·b)=eq \r(,5-2a·b)=2,
    所以5-2a·b=4,所以a·b=eq \f(1,2),又|eq \(AC,\s\up7(→))|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,
    所以|eq \(AC,\s\up7(→))|=eq \r(,6),
    即AC=eq \r(,6).
    10.两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(25,20)移动到点B(12,5)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).求:
    (1)F1,F2分别对该质点做的功;
    (2)F1,F2的合力F对该质点做的功.
    [解] (1)F1=(1,1),F2=(4,-5),eq \(AB,\s\up7(→))=(-13,-15).
    F1做的功W1=F1·eq \(AB,\s\up7(→))=(1,1)·(-13,-15)=-13-15=-28(J).
    F2做的功W2=F2·eq \(AB,\s\up7(→))=(4,-5)·(-13,-15)=-52+75=23(J).
    (2)F=F1+F2=(5,-4),
    所以F做的功W=F·eq \(AB,\s\up7(→))=(5,-4)·(-13,-15)=-65+60=-5(J).
    1.已知△ABC所在平面内的一点P满足eq \(PA,\s\up7(→))+2 eq \(PB,\s\up7(→))+eq \(PC,\s\up7(→))=0,则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=( )
    A.1∶2∶3 B.1∶2∶1
    C.2∶1∶1 D.1∶1∶2
    B [延长PB至D,使得eq \(PD,\s\up7(→))=2 eq \(PB,\s\up7(→)) (图略),于是有eq \(PA,\s\up7(→))+eq \(PD,\s\up7(→))+eq \(PC,\s\up7(→))=0,即点P是△ADC的重心,依据重心的性质,有S△PAD=S△PAC=S△PDC.由B是PD的中点,得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶1.]
    2.(多选题)点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
    A.若eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(OB,\s\up7(→))+eq \(OC,\s\up7(→))=0,则点O为△ABC的重心
    B.若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)-\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))=eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)-\f(\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)))=0,则点O为△ABC的垂心
    C.若(eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(AB,\s\up7(→))=(eq \(OB,\s\up7(→))+eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(BC,\s\up7(→))=0,则点O为△ABC的外心
    D.若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))=eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))=eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→)),则点O为△ABC的内心
    AC [选项A,设D为BC的中点,
    由于eq \(OA,\s\up7(→))=-(eq \(OB,\s\up7(→))+eq \(OC,\s\up7(→)))=-2eq \(OD,\s\up7(→)),
    所以点O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),
    所以点O为△ABC的重心,故A正确;
    选项B,向量eq \f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|),eq \f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)分别表示在边AC和AB上取单位向量eq \(AC′,\s\up7(→))和eq \(AB′,\s\up7(→)),记它们的差是向量eq \(B′C′,\s\up7(→)),
    则当eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)-\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))=0,
    即OA⊥B′C′时,点O在∠BAC的平分线上,同理由eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)-\f(\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)))=0,
    知点O在∠ABC的平分线上,故点O为△ABC的内心,故B错误;
    选项C,eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(OB,\s\up7(→))是以eq \(OA,\s\up7(→)),eq \(OB,\s\up7(→))为邻边的平行四边形的一条对角线,
    而|eq \(AB,\s\up7(→))|是该平行四边形的另一条对角线,
    eq \(AB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(OB,\s\up7(→)))=0表示这个平行四边形是菱形,
    即|eq \(OA,\s\up7(→))|=|eq \(OB,\s\up7(→))|,同理有|eq \(OB,\s\up7(→))|=|eq \(OC,\s\up7(→))|,
    于是点O为△ABC的外心,故C正确;
    选项D,由eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))=eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))得eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))-eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))=0,
    ∴eq \(OB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))-eq \(OC,\s\up7(→)))=0,即eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))=0,
    ∴eq \(OB,\s\up7(→))⊥eq \(CA,\s\up7(→)).同理可证eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(CB,\s\up7(→)),eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→)).
    ∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的垂心,故D错误.故选AC.]
    3.如图,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且OB=2OD,AC=2,过点D作DE⊥AC,垂足为E,若Deq \(E,\s\up7(→))·Deq \(B,\s\up7(→))=6,则四边形ABCD的面积为________.
    3eq \r(2) [如图所示,作BF⊥AC,交AC于点F,设DO=x,∠EDB=θ,DE=h,则cs θ=eq \f(h,x).因为Deq \(E,\s\up7(→))·Deq \(B,\s\up7(→))=6,所以Deq \(E,\s\up7(→))·Deq \(B,\s\up7(→))=h·3x·cs θ=h·3x·eq \f(h,x)=3h2=6,得h=eq \r(2).因为BF⊥AC,DE⊥AC,∠DOE=∠COB,所以△DOE∽△BOF,又OB=2OD,所以BF=2h,所以S四边形ABCD=eq \f(1,2)×h×2+eq \f(1,2)×2h×2=3eq \r(2).]
    4.已知△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,P为线段AC上任意一点,则Peq \(B,\s\up7(→))·Peq \(C,\s\up7(→))的取值范围是________.
    eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(9,4),4)) [△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,设PA=x,x∈[0,4],则eq \(PB,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))=(eq \(PA,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→)))·eq \(PC,\s\up7(→))=eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))=x(4-x)cs 180°+2(4-x)cs 60°=x2-5x+4=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(5,2)))eq \s\up12(2)-eq \f(9,4).由x∈[0,4],知当x=eq \f(5,2)时,eq \(PB,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))取得最小值,为-eq \f(9,4);当x=0时,Peq \(B,\s\up7(→))·Peq \(C,\s\up7(→))取得最大值,为4,故Peq \(B,\s\up7(→))·Peq \(C,\s\up7(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(9,4),4)).]
    如图,eq \(AB,\s\up7(→))=(6,1),eq \(BC,\s\up7(→))=(x,y),eq \(CD,\s\up7(→))=(-2,-3),且eq \(BC,\s\up7(→))∥eq \(AD,\s\up7(→)).
    (1)求y与x的关系式;
    (2)若eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→)),求x与y的值及四边形ABCD的面积.
    [解] (1)∵eq \(AD,\s\up7(→))=eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BC,\s\up7(→))+eq \(CD,\s\up7(→))=(4+x,y-2),
    ∴由eq \(BC,\s\up7(→))∥eq \(AD,\s\up7(→)),得x(y-2)=y(4+x),
    即y=-eq \f(1,2)x.
    (2)由题易得,eq \(AC,\s\up7(→))=eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BC,\s\up7(→))=(x+6,y+1),eq \(BD,\s\up7(→))=eq \(BC,\s\up7(→))+eq \(CD,\s\up7(→))=(x-2,y-3).
    由eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))可得eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))=0,
    即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=x2+y2+4x-2y-15=0,
    又∵y=-eq \f(1,2)x,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=-1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-6,,y=3.))
    ∴eq \(AC,\s\up7(→))=(8,0),eq \(BD,\s\up7(→))=(0,-4)或eq \(AC,\s\up7(→))=(0,4),eq \(BD,\s\up7(→))=(-8,0),
    又∵eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→)),
    ∴四边形ABCD的面积为eq \f(1,2)·|eq \(AC,\s\up7(→))||eq \(BD,\s\up7(→))|=eq \f(1,2)×8×4=16.

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