数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步测试题

这是一份数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步测试题，共6页。
1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
解析：选A s＝200＋300＝500(km)，|a|＝eq \r(2002＋3002)＝100eq \r(13)(km)，∴s＞|a|.故选A.
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10eq \r(2) N
C．20eq \r(2) N D．10eq \r(3) N
解析：选B 设夹角90°时，合力为F，
|F1|＝|F2|＝|F|cs 45°＝10eq \r(2)，
当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N.
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cs∠BDC＝( )
A．－eq \f(7,25) B.eq \f(7,25)
C．0 D.eq \f(1,2)
解析：选B 如图建立平面直角坐标系，
则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，
∴eq \(DB,\s\up6(―→))＝(－3，－4)，eq \(DC,\s\up6(―→))＝(3，－4)．
又∠BDC为eq \(DB,\s\up6(―→))，eq \(DC,\s\up6(―→))的夹角，
∴cs∠BDC＝eq \f(\(DB,\s\up6(―→))·\(DC,\s\up6(―→)),|\(DB,\s\up6(―→))||\(DC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(－9＋16,5×5)＝eq \f(7,25).
4．(多选)已知O是四边形ABCD内一点，若eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OD,\s\up6(―→))＝0，则下列结论错误的是( )
A．四边形ABCD为正方形，点O是正方形ABCD的中心
B．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的对角线交点
C．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
解析：选ABC 由eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OD,\s\up6(―→))＝0知，eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))＝－(eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OD,\s\up6(―→)))．设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则，知eq \(OE,\s\up6(―→))＋eq \(OF,\s\up6(―→))＝0，O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，则O是MN的中点，所以O是EF，MN的交点．
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
解析：选AC 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c|·|cs α|＝|b|·|a|·|cs(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ.故选A、C.
6．已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－\f(1,2)))在线段AB的中垂线上，则x＝________．
解析：设AB的中点为M，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，eq \(MP,\s\up6(―→))＝(x－1，－1)，由题意可知eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－4，－3)，eq \(MP,\s\up6(―→))⊥eq \(AB,\s\up6(―→))，则eq \(MP,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))＝0，所以－4(x－1)＋(－1)×(－3)＝0，解得x＝eq \f(7,4).
答案：eq \f(7,4)
7．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 eq \r(2) J，则F与s的夹角等于________．
解析：设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250eq \r(2)＝10×50×cs θ，∴cs θ＝eq \f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且eq \(DE,\s\up6(―→))⊥eq \(AC,\s\up6(―→))，则|eq \(DE,\s\up6(―→))|＝________．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设|eq \(AD,\s\up6(―→))|＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以eq \(DE,\s\up6(―→))＝(2，－a)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(4，a)，
因为eq \(DE,\s\up6(―→))⊥eq \(AC,\s\up6(―→))，所以eq \(DE,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8，
所以a＝2eq \r(2)，所以eq \(DE,\s\up6(―→))＝(2，－2eq \r(2))，
所以|eq \(DE,\s\up6(―→))|＝eq \r(22＋（－2\r(2)）2)＝2eq \r(3).
答案：2 eq \r(3)
9.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(CE,\s\up6(―→))＝(eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→)))·(eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(AE,\s\up6(―→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(CB,\s\up6(―→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(―→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up6(―→))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(CB,\s\up6(―→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(―→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(―→))－\f(2,3)\(CA,\s\up6(―→))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(CB,\s\up6(―→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(CA,\s\up6(―→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(―→))))
＝－eq \f(1,3)|eq \(CA,\s\up6(―→))|2＋eq \f(1,3)|eq \(CB,\s\up6(―→))|2.
因为CA＝CB，所以－eq \f(1,3)|eq \(CA,\s\up6(―→))|2＋eq \f(1,3)|eq \(CB,\s\up6(―→))|2＝0，故AD⊥CE.
10．某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶，感觉到风从正南方向吹来，而当其速度变为40 km/h时，他又感觉到风从西南方向吹来，求实际风速的大小和方向．
解：设v1表示20 km/h的速度，在无风时，此人感觉到的风速为－v1，实际的风速为v，那么此人所感觉到的风速为v＋(－v1)＝v－v1.
如图，令eq \(AB,\s\up6(―→))＝－v1，eq \(AC,\s\up6(―→))＝－2v1，实际风速为v.
∵eq \(DA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DB,\s\up6(―→))，∴eq \(DB,\s\up6(―→))＝v－v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度．
∵eq \(DA,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))，∴eq \(DC,\s\up6(―→))＝v－2v1.这就是当车的速度为40 km/h时，骑车人感觉到的风速．
由题意，得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，
∴△DCA为等腰三角形，DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴DA＝DC＝eq \r(2)BC.
∴|v|＝20 eq \r(2) km/h.
∴实际风速的大小是20 eq \r(2) km/h，为东南风．
[B级 综合运用]
11.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
解析：选AC 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0