一、选择题
1．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝( )
A．3＋eq \r(,10) B．3－eq \r(,10)
C．3±eq \r(,10) D．－3±eq \r(,10)
C [∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，
∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得m＝3±eq \r(,10)．]
2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57 C．63 D．83
D [因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，
a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，
所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83．]
3．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7) C．eq \f(1,6) D．－eq \f(1,6)
B [由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0．因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－eq \f(1,7)．]
4．已知向量a＝(0，－2eq \r(3))，b＝(1，eq \r(3))，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))
D [向量a在向量b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(－6,2)·eq \f(b,2)＝－eq \f(3,2)b，其坐标为－eq \f(3,2)(1，eq \r(3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))．故选D．]
5．已知向量Aeq \(B,\s\up7(→))＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·Beq \(C,\s\up7(→))＝2，则n·Aeq \(C,\s\up7(→))＝( )
A．2 B．－2 C．7 D．－7
C [n·Aeq \(C,\s\up7(→))＝n·(Aeq \(B,\s\up7(→))＋Beq \(C,\s\up7(→)))＝n·Aeq \(B,\s\up7(→))＋n·Beq \(C,\s\up7(→))＝6－1＋2＝7，故选C．]
二、填空题
6．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________．
eq \r(5) [由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝eq \r(5)．]
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)，若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角的大小为________．
eq \f(2π,3) [易得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝eq \r(5)．设c＝(x，y)，
∵(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，∴x＋2y＝－eq \f(5,2)．设a与c的夹角为θ，∵a·c＝x＋2y，
∴cs θ＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(－\f(5,2),5)＝－eq \f(1,2)．又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3)．]
8．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，则实数k的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) [∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，∴ka＋b＝(k,1)，a＋2b＝(1,2)．∵向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，∴(ka＋b)·(a＋2b)＝(k,1)·(1,2)＝k＋2＞0，解得k＞－2．又当k＝eq \f(1,2)时，ka＋b与a＋2b方向相同，
∴实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))．]
三、解答题
9．设t，k∈R，已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，m＝a＋(t＋2)b，n＝ka＋tb．
(1)若t＝1，且m∥n，求k的值；
(2)若m·n＝5，求证：k≤2．
[解] (1)当t＝1时， m＝a＋3b＝(－5,5)，n＝ka＋b＝(k－2,2k＋1)．
∵m∥n，∴5(k－2)＝－5(2k＋1)，解得k＝eq \f(1,3)．
(2)m·n＝[a＋(t＋2)b]·(ka＋tb)＝ka2＋ta·b＋k(t＋2)a·b＋t(t＋2)b2＝5k＋5t(t＋2)，
∵m·n＝5，∴5k＋5t(t＋2)＝5，
∴k＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2≤2．
10．设平面向量a＝(cs α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若向量eq \r(3)a＋b与a－eq \r(3)b的模相等，求角α．
[解] (1)证明：由题意，知a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(1,2)，sin α＋\f(\r(3),2)))，a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋\f(1,2)，sin α－\f(\r(3),2)))．
∴(a＋b)·(a－b)＝cs2α－eq \f(1,4)＋sin2α－eq \f(3,4)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)易得|a|＝1，|b|＝1．
由题意，知(eq \r(3)a＋b)2＝(a－eq \r(3)b)2，化简得a·b＝0，
∴－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝0，∴tan α＝eq \f(\r(3),3)．
又0≤α＜2π，∴α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(7π,6)．
1．已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝eq \r(3)，则b＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4))) D．(1,0)
B [设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝eq \r(3)x＋y＝eq \r(3)．由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,\r(3)x＋y＝\r(3)，,y≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))．故选B．]
2．(多选题)已知△ABC是边长为2a(a＞0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则eq \(PA,\s\up7(→))·(eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→)))的值可能是( )
A．－2a2 B．－eq \f(3,2)a2 C．－eq \f(4,3)a2 D．－a2
BCD [建立如图所示的平面直角坐标系．
设P(x，y)，又A(0，eq \r(3)a)，B(－a,0)，C(a,0)，
则eq \(PA,\s\up7(→))＝(－x，eq \r(3)a－y)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(－a－x，－y)，eq \(PC,\s\up7(→))＝(a－x，－y)．
所以eq \(PA,\s\up7(→))·(eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→)))
＝(－x，eq \r(3)a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]
＝(－x，eq \r(3)a－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2y2－2eq \r(3)ay
＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)a))2－eq \f(3,2)a2≥－eq \f(3,2)a2．
故选BCD．]
3．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为________，eq \f(x1＋y1,x2＋y2)的值为________．
180° －eq \f(2,3) [设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cs θ＝－6，∴cs θ＝－1，∴θ＝180°．
即a，b共线且反向，∴a＝－eq \f(2,3)b，
∴x1＝－eq \f(2,3)x2，y1＝－eq \f(2,3)y2，∴eq \f(x1＋y1,x2＋y2)＝－eq \f(2,3)．]
4．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up7(→))＋3eq \(PB,\s\up7(→))|的最小值为________．
5 [如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则eq \(PA,\s\up7(→))＋3eq \(PB,\s\up7(→))＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，
所以|eq \(PA,\s\up7(→))＋3eq \(PB,\s\up7(→))|＝eq \r(25＋3a－4x2)≥5．]
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(→))．
(1)求证：A，B，C三点共线，并求eq \f(|\(BC,\s\up7(→))|,|\(BA,\s\up7(→))|)的值；
(2)已知A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，x∈(0，π)，且函数f(x)＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(2,3)))|eq \(AB,\s\up7(→))|的最小值为eq \f(1,2)，求实数m的值．
[解] (1)证明：∵eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(→))，
∴eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))，
∴eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(→))，又eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))有公共点B，
∴A，B，C三点共线，eq \f(|\(BC,\s\up7(→))|,|\(BA,\s\up7(→))|)＝eq \f(1,3)．
(2)∵A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，
∴eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,3)sin x，sin x))，
∴eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝1＋eq \f(2,3)sin x＋sin2x．
又eq \(AB,\s\up7(→))＝(sin x,0)，∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝sin x，
∴f(x)＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(2,3)))|eq \(AB,\s\up7(→))|＝sin2x＋2msin x＋1．
设sin x＝t，∵x∈(0，π)，∴t∈(0,1]，
∴y＝t2＋2mt＋1＝(t＋m)2＋1－m2．
①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意；
②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时，当t＝－m时，ymin＝1－m2＝eq \f(1,2)，∴m＝－eq \f(\r(2),2)；
③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝eq \f(1,2)，
∴m＝－eq \f(3,4)＞－1，不合题意．
综上可知，m＝－eq \f(\r(2),2)．