人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示

必备知识基础练　

1．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，12)，则a·b－|b|＝(　　)

A．52　　　B．－3　　　C．－10　　　D．3

2．已知向量a＝(－，1)，b＝(2，－2)，则向量a，b的夹角为(　　)

A．    B．    C．    D．

3．已知向量a＝(1，0)，b＝(3，2)，则(a＋b)·(a－b)＝(　　)

A．3    B．5    C．－6    D．－12

4．已知向量a＝(，1)，b＝(，－1)，则a在b上的投影向量为(　　)

A．(，1)    B．(，－1)

C．(，)    D．(，－)

5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，7)，则下列结论正确的是(　　)

A．a⊥b    B．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)    D．a⊥(a＋b)

6．(多选)已知向量a＝(1，)，b＝(－1，0)，则(　　)

A．a－2b＝(2，)    B．|a|＝2|b|C．(a＋b)⊥b    D．a与b的夹角为

7．已知向量a＝(2，0)，b＝(－1，4)，则|a－b|＝________．

8．已知向量a＝(0，1)，b＝(1，)且向量c＝a＋2b，设向量a与向量c的夹角为θ，则cos θ＝________．

关键能力综合练　

1．已知a＝(2，5)，b＝(x，－1)，若a·b＝3，则x的值为(　　)

A．　　　B．－　　　C．－4　　　D．4

2．已知向量a＝(1，m－1)，b＝(m，2)，若a⊥b，则实数m＝(　　)

A．2    B．    C．－1    D．－2

3．已知a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋tb，t∈R，若sin 〈a，c〉＝sin 〈b，c〉，则t＝(　　)

A．－1    B．±1    C．2    D．±2

4．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为(　　)

A．    B．2    C．5    D．10

5．已知向量a＝(m，－2)，b＝(3，m＋1)，且a⊥b，c是与a同向的单位向量，则c＝(　　)

A．(－，－)    B．(，－)

C．(－，－)    D．(，－)

6．(多选)已知平面向量a＝(2，2)，b＝(1，m)，且|2a－b|＝|a＋b|，则(　　)

A．a·b＝4    B．a∥b

C．m＝－1    D．|b|＝

7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，若(a＋b)⊥a，则m＝________．

8．在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，若＝，＝2，则·＝________．

9．已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(2，－1)，B(－1，2).

(1)若|a|＝1，且a与的夹角为45°，求(2a－)·(a＋)的值；

(2)设e为单位向量，且e⊥，求e的坐标．

10．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，5)，c＝2a＋tb(t∈R)．

(1)若c⊥b，求t的值；

(2)若c与a的夹角为锐角，求t的取值范围．

核心素养升级练

1．已知面积为6的直角△ABC中，P，Q为斜边BC上的两个三等分点，则·的最小值为(　　)

A．    B．C．8    D．

2．定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|＝|a|·|b|·sin 〈a，b〉，〈a，b〉表示向量a与b的夹角．若点A(1，0)，B(1，－)，O为坐标原点，则|×|＝________．

3．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示

必备知识基础练

1．答案：D

解析：由题意得，a·b－|b|＝－4×5＋3×12－＝16－13＝3.故选D.

2．答案：A

解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以夹角为.故选A.

3．答案：D

解析：a＋b＝(4，2)，a－b＝(－2，－2)，所以(a＋b)·(a－b)＝(4，2)·(－2，－2)＝－8－4＝－12.故选D.

4．答案：D

解析：向量a＝(，1)，b＝(，－1)，a·b＝×＋1×(－1)＝2，而|b|＝2，所以a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·＝·＝b＝(，－).故选D.

5．答案：D

解析：因为a＝(2，－1)，b＝(1，7)，所以a·b＝1×2＋7×(－1)＝－5，故A错误；a－b＝(2，－1)－(1，7)＝(1，－8)，a＋b＝(2，－1)＋(1，7)＝(3，6)，所以a·(a－b)＝2×1＋(－1)×(－8)＝10，b·(a－b)＝1×1＋(－8)×7＝－55，故B、C错误；a·(a＋b)＝2×3＋(－1)×6＝0，故a⊥(a＋b).故选D.

6．答案：BC

解析：对于A，a－2b＝(1，)－2(－1，0)＝(3，)，A错；对于B，|a|＝2，|b|＝1，则|a|＝2|b|，B对；对于C，a·b＝－1，故(a＋b)·b＝a·b＋b2＝－1＋1＝0，所以，(a＋b)⊥b，C对；对于D，cos 〈a，b〉＝＝－，∵0≤〈a，b〉≤π，故〈a，b〉＝，D错．故选BC.

7．答案：5

解析：由a＝(2，0)，b＝(－1，4)，得|a－b|＝|(3，－4)|＝＝5.

8．答案：

解析：由题设，|a|＝1，c＝(2，2)，则|c|＝2，a·c＝2，所以cos θ＝cos 〈a，c〉＝＝.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：a·b＝2x－5＝3，解得x＝4，故选D.

2．答案：B

解析：因为向量a＝(1，m－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，所以m＋2m－2＝0，解得m＝.故选B.

3．答案：B

解析：∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋tb，∴c＝(1，t)，

∵sin 〈a，c〉＝sin 〈b，c〉，∴cos 〈a，c〉＝±cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝±1，故选B.

4．答案：D

解析：∵＝(－6，2)，＝(1，3)，∴·＝－6＋2×3＝0，∴⊥，∵||＝＝2，||＝＝，∴四边形ABCD的面积S＝||·||＝×2×＝10，故选D.

5．答案：D

解析：因为a⊥b，所以3m－2(m＋1)＝0，解得m＝2，所以a＝(2，－2)，又因为c是与a同向的单位向量，所以c＝＝＝(，－).故选D.

6．答案：ABD

解析：2a－b＝(4，4)－(1，m)＝(3，4－m)，a＋b＝(3，2＋m)，所以32＋(4－m)2＝32＋(2＋m)2，解得m＝1，C错误；所以b＝(1，1)，|b|＝＝，D正确；则a·b＝2＋2＝4，A正确；因为a＝2b，所以a∥b，B正确；故选ABD.

7．答案：－3

解析：因为a＝(1，－2)，b＝(m，1)，所以a＋b＝(1＋m，－1)，因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即1＋m＋2＝0，解得m＝－3.

8．答案：

解析：

以A为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).因为＝，故E为CD中点，故E(1，1)，＝2，则F(AB，AD)，即F(，)，故·＝(1，1)·(，)＝＋＝.

9．解析：(1)＝(－3，3)，||＝＝3，

(2a－)·(a＋)＝2|a|2＋a·－||2＝2|a|2＋|a|||cos 〈a，〉－||2

＝2×12＋1×3×－(3)2＝－13.

(2)＝(2，－1)，设e＝(x，y)，因为e⊥，所以e·＝0，

由，解得或，

所以e＝(，)或e＝(－，－).

10．解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(－2，5)，c＝2a＋tb(t∈R)，

所以c＝2(1，2)＋t(－2，5)＝(2－2t，4＋5t)，

因为c⊥b，所以c·b＝－2(2－2t)＋5(4＋5t)＝0，解得t＝－.

(2)因为c与a的夹角为锐角，

所以c·a>0，且c与a不共线，

由c·a>0，得2－2t＋2(4＋5t)>0，解得t>－，

当c与a共线时，＝，解得t＝0，

所以当t>－且t≠0时，c与a的夹角为锐角，

所以所求的t的取值范围为(－，0)∪(0，＋∞).

核心素养升级练

1．答案：B

解析：

根据题意绘图如下，∵直角△ABC面积为6，设AC＝t(0<t<12)，则AB＝.又P，Q为斜边BC上的两个三等分点，设P(，)，Q(，)，∴＝(，)，＝(，)，∴·＝＋≥2＝2 ＝，当且仅当＝，即t＝2时，·取得最小值.故选B.

2．答案：

解析：∵A(1，0)，B(1，－)，∴＝(1，0)，＝(1，－)，∴||＝＝1，||＝＝2，∴cos 〈，〉＝＝＝，

∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝，∴|×|＝||·||·sin 〈，〉＝1×2×sin ＝.

3．解析：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a⊥b，

所以3cos x－sin x＝0.

于是tan x＝.又x∈[0，π]，所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)

＝3cos x－sin x＝2cos (x＋).

因为x∈[0，π]所以x＋∈[，]，

从而－1≤cos (x＋)≤.

于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.