高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用第1课时测试题

课后素养落实(九)　距离问题

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A．　　　B．2　　　C．　　　D．

D　[∵＝(＋)＝(4,3,6)＝，

＝(0,1,0)，∴＝－＝，

∴||＝＝.]

2．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为(　　)

A． B． 

C． D．

C　[建立空间直角坐标系，如图，

则C(1,1,0)，C1(1,1,1)，

E，所以＝，

＝(0,0,1)，所以在上的投影长度为＝＝－，所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝.故选C．]

3．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为(　　)

A． B． 

C． D．

B　[如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，

＝(3,0，－1)，＝(－3,4,0)，＝(0,0,1)．

设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4,3,12)．

∴点P到平面BQD的距离d＝＝.]

4．已知三棱锥O­ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　)

A． B． 

C． D．3

B　[以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，

∴＝(－1,2,0)，＝(0，－2,2)，取a＝＝(－1,2,0)，

u＝＝.则点A到直线BC的距离为＝＝.]

5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A． B．

C． D．

B　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．

因为O为A1C1的中点，

所以O，

＝，

＝(－1,0,1)，

＝(0,1,0)．

设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，

则有

即取x＝1，则n＝(1,0,1)，

∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.]

二、填空题

6．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．

3　[以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以＝(－4,3,0)，

＝.

取a＝＝.

u＝＝，

则P到AB的距离为

d＝＝＝3.]

7．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则平面α外的点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．

　[由题意可知＝(1,2，－4)．设点P到平面α的距离为h，则h＝＝＝.]

8.棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中 ，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________．

　[以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则E，F，

G，D1(0,0,1)，

A1(1,0,1)，

∴＝(－1,0,0)，＝，＝(1,0,0)，

∴∥.又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，

∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离，

即为点D1到平面EFGH的距离．

设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1,6)，

又∵＝，

∴点D1到平面EFGH的距离d＝＝＝，

∴A1D1到平面EFGH的距离为.]

三、解答题

9．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

[解]　

以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，

＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒

令z＝1，得y＝1，x＝－1，

∴n＝(－1,1,1)，

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

易证平面A1BD∥平面B1CD1，

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

[解]　(1)建立以D为坐标原点，

，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．

则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，

E，F，所以＝，

＝，＝，

设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，

则即

令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)，

所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝，因此点D到平面PEF的距离为.

(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．

又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，

所以AC∥平面PEF.

因为＝，所以点A到平面PEF的距离d＝＝＝.

所以直线AC到平面PEF的距离为.

1．如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　)

A． B．

C． D．

C　[如图，分别以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，

因为＝＋＋，

所以＝，＝(1,0,0)，＝，

所以P点到AB的距离

d＝

＝＝.]

2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为(　　)

A． B． 

C． D．1

B　[以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，

则F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，

∴＝(2,0,0)，＝(－2,2,0)，＝(－2，－4,2)．

设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，则y＝1，z＝3，则m＝(1,1,3)，

∴点B到平面EFG的距离d＝＝.]

3．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．

　[AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，

则＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．

设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，

则即

取a＝1，得n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，

所以d＝＝.]

4．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．

　[如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，

则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．

∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，

＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，

∴＝，＝，

∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.

∴平面AMN∥平面EFBD．

设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，

则解得

取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．

平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．

∵＝(0,4,0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝.]

如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

[解]　取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD．

建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，则＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)．

假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，

设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y,0)．

设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，

则∴即x0＝y0＝z0，取x0＝1，

则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．

∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，

∴y＝－或y＝(舍去)．此时＝，＝，则||＝，||＝.

∴存在点Q满足题意，此时＝.