人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理同步测试题

课后素养落实(三)　空间向量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是(　　)

A．a,2b,3c

B．a＋b，b＋c，c＋a

C．a＋b＋c，b＋c，c

D．a＋2b,2b＋3c,3a－9c

D　[因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面．对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D：a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底．故选D．]

2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　)

A．a－b＋2c

B．a－b－2c

C．－a＋b＋c

D．a－b＋c

D　[由AB＝2CD得＝＝(－)＝a－b，

所以＝＋＝c＋a－b，故选D．]

3．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(　　)

A．＝＋＋

B．≠＋

C．＝＋＋

D．＝2－

C　[若，，为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C．]

4．在三棱柱A1B1C1­ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A．a＋b＋c　　 B．a－b＋c

C．a＋b－c D．－a＋b＋c

D　[连接A1B(图略)，＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝－a＋b＋c，故选D．]

5.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为(　　)

A． B．

C． D．

A　[设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，

＝＋＝a－c，

＝＋＝b＋c，

cos〈，〉＝

＝＝＝－，

所以异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为.]

二、填空题

6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)

a＋b＋c　[因为在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝(＋)＝＋＝a＋×(＋)＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.]

7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．

4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)　[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)，

则有

解得

则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．]

8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6.则线段PC的长为________．

7　[由题意知〈〉＝120°.

⊥，⊥，则

＝＋＋，所以||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝36＋16＋9＋2×3×4×＝49，

所以||＝7.]

三、解答题

9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

[解]　(1)＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．

(2)＝(＋)＝(－＋－)

＝(－＋－－)

＝(a－c－b－c)＝a－b－c，

所以x＝，y＝－，z＝－1.

10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.

(1)求〈，〉的余弦值；

(2)求证：⊥.

[解]　(1)＝＋＝＋，

＝＋＝＋＝－.

∵·＝0，

·＝0，

·＝0，

∴·＝·＝2＝.

又||＝||＝，∴cos〈，〉＝.

(2)证明：＝＋＝－＋，

＝＋＝－(＋)，

∴·＝(－＋)·＝0，

∴⊥.

1．(多选题)在三棱锥P­ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　)

A．EG⊥PG B．EG⊥BC

C．FG∥BC D．FG⊥EF

ABD　[如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，

则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝×(a＋b)＝a＋b，

＝＋＝＋＝＋(－)＝c＋b，

＝－＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，

＝－＝a＋b－b＝a，

＝－＝b－＝－c－b，

∴·＝0，A正确；·＝0，B正确；≠λ(λ∈R)，C不正确；·＝0，D正确．故选ABD．]

2.(多选题)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　)

A．AC1＝6

B．AC1⊥DB

C．向量与的夹角是60°

D．BD1与AC所成角的余弦值为

AB　[因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，

所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，

(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，

则||＝|＋＋|＝6，所以A正确；

·＝(＋＋)·(－)

＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确；

显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.

因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；

因为＝＋－，＝＋，

所以||＝＝6，||＝＝6，

·＝(＋－)·(＋)＝36，

所以cos〈，〉＝＝＝，所以D不正确．故选AB．]

3．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)

a＋b　[＝＋＝＋(＋)

＝＋(＋－)＝c＋(a＋b－c)

＝a＋b.]

4．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．

　a　[设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2.

∵＝－＝(a＋b)－c，

∴·＝a2＋a·b－a·c＝a2，||＝＝a，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴异面直线EF与AB所成的角为.]

如图，在三棱锥O­ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．

(1)用向量，，表示向量，并证明你的结论；

(2)设＝x＋y＋z，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明)．

[解]　(1)＝(＋＋)．

证明如下：

＝＋＝＋

＝＋×(＋)

＝＋[(－)＋(－)]

＝(＋＋)．

(2)若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是：

x＋y＋z＝1，且0<x<1,0<y<1,0<z<1.