人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时精练

课后素养落实(七)　空间中直线、平面的平行

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)

A．l⊥α　　　　　 B．l∥α

C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α

D　[∵a·u＝3×(－1)＋2×2＋1×(－1)＝0，

∴a⊥u，

∴l∥α或l⊂α，故选D．]

2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　)

A．α⊥β B．α∥β

C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对

B　[因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B．]

3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝(　　)

A．　　　　B．　　　　C．3　　　　D．

A　[由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝.]

4．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)

A．垂直 B．平行

C．异面 D．是同一条直线

B　[∵＝(－3，－3,3)，＝(2,0，－2)，＝(1,1，－1)，

∴＝－3，与不共线．

∴∥，且点C不在直线AB上，

∴AB∥CD，故选B．]

5．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3,1)，向量＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，则(　　)

A．平面α∥平面ABC

B．平面α⊥平面ABC

C．平面α与平面ABC相交但不垂直

D．以上均有可能

A　[因为n1·＝0，n1·＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行，故选A．]

二、填空题

6．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________.

　[由题意知

即

解得∴a＝.]

7．已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________．

平行　[由题意知，向量a与向量b分别是平面α与平面β的法向量，且b＝2a，∴a∥b，∴α∥β.]

8．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．

平行　[＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，

则n·＝0，n·＝0，

即n⊥，n⊥且AB∩AC＝A．

∴向量n也是平面α的一个法向量，

∴α∥β.]

三、解答题

9.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE.

[证明]　如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，

则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E.

所以＝(0，－b,0)，＝.

设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则

即

令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.

又＝，所以n·＝0，

又C1F⊄平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.

10．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面A1EF∥平面B1MC．

[证明]　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(1,0,1)，＝(0，－1，－1)，

设＝λ，

＝μ，＝v(λ，μ，v∈R，且均不为0)．

设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，

由

可得即

所以可取n1＝(1,1，－1)．

由

可得

即

可取n2＝(1,1，－1)，所以n1＝n2，所以n1∥n2，

所以平面A1EF∥平面B1MC．

1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交

B．平行

C．垂直

D．不能确定

B　[分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵A1M＝AN＝a，＝，＝，

∴M，

N，∴＝.

又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，

∴·＝0，∴⊥.

∵是平面BB1C1C的法向量，

且MN⊄平面BB1C1C，

∴MN∥平面BB1C1C．]

2.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　)

A．异面直线

B．平行直线

C．垂直不相交

D．垂直且相交

B　[设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建立如图所示坐标系，则＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，

设＝(a，b，c)，

∴

则

取＝(1,1，－1)，

∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－，

∴∥，

∴PQ∥BD1.]

3.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则平面BDE的一个法向量为________，点M的坐标为________．

(1,1，)(答案不唯一)　　[以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示．

则C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)，

＝(－，0,1)，＝(，－，0)，

设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)，

又＝(a－，a－，1)，

∴·n＝a－＋a－＋＝0，

∴a＝，即M.]

4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．

　[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，

设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)，

则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E，

＝(a,0,1)，＝，

＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，

∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，

即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ

＝.

∴∴b＝λ＝，即AP＝.]

如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，△ABD是边长为1的等边三角形，BC＝3.问：线段BD上是否存在点N(不包括端点)，使得直线CE∥平面AFN？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

[解]　存在．理由如下：

∵平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，

∴AF⊥平面ABCD．

过点D作DG⊥BC于点G.

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B，C，D(0,0,0)，E(0,0,1)，F(1,0,1)，∴＝(0,0,1)，＝，＝，＝.

设＝λ，0<λ<1，则＝λ＝，则＝＋＝.

设n＝(x，y，z)是平面AFN的法向量，

则

即

∴

取x＝，则y＝，∴n＝是平面AFN的一个法向量．

由n·＝－×＝0，得λ＝，符合题意，即存在点N，使得直线CE∥平面AFN，此时＝.