高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时一课一练

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时　距离问题

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A. B.2 C. D.

解析∵)=(4,3,6)=,

=(0,1,0),∴,

∴||=.

答案D

2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(　　)

A. B. C. D.

解析建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,,1,

所以=1,,-1,=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d=.故选C.

答案C

3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　)

A. B. 

C. D.

解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),

M,B(a,a,0),A1(a,0,a),

∴=(a,a,0),=(a,0,a).

设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),

则

令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).

∴点A1到平面MBD的距离d=a.

答案A

4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为　　　　　. 

解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),

∴=(3,0,-1),

=(-3,4,0),

∴点P到直线BD的距离

d=.

答案

5.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 

解析如图所示,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),

∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),

则

即

令z=1得x=-,y=0,∴n=(-,0,1).

∴点B1到平面A1BC的距离d=.

答案

6.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离;

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

解(1)建立以D为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.

则P(0,0,1),A(1,0,0),

C(0,1,0),E,

F,

所以,

,

设平面PEF的法向量n=(x,y,z),

则

令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),

所以点D到平面PEF的距离d=,因此点D到平面PEF的距离为.

(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.

又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,

所以AC∥平面PEF.

因为,所以点A到平面PEF的距离d=.

所以直线AC到平面PEF的距离为.

关键能力提升练

7.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为(　　)

A. B.

C. D.1

解析以C为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),

∴=(2,0,0),=(-2,2,0),=(-2,-4,2).

设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),

则

令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),

∴点B到平面EFG的距离d=.

答案B

8.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于(　　)

A. B.

C.2 D.5

解析以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,

则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).

设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D,所以方程可化为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=.

答案B

9.(2020山东威海高二期中)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　)

A.等于a

B.和EF的长度有关

C.等于a

D.和点Q的位置有关

解析取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.

如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P,0,a,

∴=(0,a,0),=(a,0,a),=,0,a.

设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,

则由

令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.

设点Q到平面PEF的距离为d,则d=,故A正确,C错误.故选A.

答案A

10.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是(　　)

A.点A到直线BE的距离是

B.点A到直线BE的距离是

C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为

D.点P到直线AB的距离为

解析如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,0,1,所以=(-1,0,0),=-,0,1.

设∠ABE=θ,

则cosθ=,

sinθ=.

故点A到直线BE的距离d1=||sinθ=1×,故A错误,B正确.

=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),

则所以

令z=1,得y=1,x=1,

所以n=(1,1,1).

所以点D1到平面A1BD的距离

d2=.

因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,

所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.

因为,所以=,又=(1,0,0),则,所以点P到AB的距离d3=,

故D错误.

答案BC

11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为　　　　　. 

解析以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

则E,

F,

G,D1(0,0,1),A1(1,0,1),

∴=(-1,0,0),=(1,0,0),

∴.又∵EF⊂平面EFGH,D1A1⊄平面EFGH,

∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.

设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),

则

令z=6,则y=-1,

∴n=(0,-1,6),

又∵,

∴点D1到平面EFGH的距离d=,∴A1D1到平面EFGH的距离为.

答案

12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　　. 

解析如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,

则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),

∴,

∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.

∴平面AMN∥平面EFBD.

设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,

则解得

取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).

平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.

∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.

答案

13.

如图,已知四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE.

(1)求证:BE⊥DE;

(2)求点F到平面CBE的距离.

解∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB.

又AD⊥BE,AB∩BE=B,

∴AD⊥平面ABEF,

又AD⊂平面ABCD,

∴平面ABCD⊥平面ABEF.

∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,

∴FA⊥平面ABCD.

∴FA⊥AD.

(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,

则B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴=(0,-1,1),=(-1,1,1),

∴=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,

∴,∴BE⊥DE.

(2)由(1)得=(1,0,0),=(0,-1,1),=(0,1,0).

设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,则由

令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.

设点F到平面CBE的距离为d,

则d=.

∴点F到平面CBE的距离为.

14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC.

(1)求点A到平面PCF的距离;

(2)求AD到平面PBC的距离.

解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.

则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),

则=(-a,m-a,0),=(-a,-a,a).

∵PC⊥CF,∴,

∴=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=a2-a(m-a)=0,∴m=2a,即F(0,2a,0).

设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),

则解得

取x=1,得n=(1,1,2).

设点A到平面PCF的距离为d,

由=(a,a,0),

得d=a.

(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).

设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),

由

取x0=1,得n1=(1,0,1).

设点A到平面PBC的距离为h,

∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC,

设h为AD到平面PBC的距离,

∴h=a.

学科素养创新练

15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

解存在.取AD的中点O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.

又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

则=(-1,0,1),

=(-1,1,0).

假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为,

设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),

则即x0=y0=z0,取x0=1,

则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

∴点Q到平面PCD的距离d=,

∴y=-或y=(舍去).此时,则||=,||=.

∴存在点Q满足题意,此时.