2020-2021学年1.4 空间向量的应用第3课时当堂检测题

课后素养落实(八)　空间中直线、平面的垂直

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　)

A．α，β平行　　　 B．α，β垂直

C．α，β重合 D．α，β不垂直

B　[u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β.]

2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　　)

A．－3或1 B．3或－1

C．－3 D．1

A　[由条件可知|a|＝＝6，且a·b＝4＋4y＋2x＝0，解得或∴x＋y＝1或－3.]

3．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)

A．4　　　B．－4     C．5　　　D．－5

D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5.]

4．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　)

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

C　[∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，∴AB⊥AC．∵||≠||≠||，∴△ABC为直角三角形．]

5．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　)

A．和AC垂直

B．和AA1垂直

C．和MN垂直

D．与AC，MN都不垂直

AC　[以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，M(0,0,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，O(1,1,0)，N(0,1,2)，∴＝(－1，－1,1)，＝(0,1,1)，＝(－2,2,0)，

＝＝(0,0,2)，

∴·＝0，·＝0，·＝2，

∴OM⊥AC，OM⊥MN，故选AC．]

二、填空题

6．已知u＝(a＋b，a－b,2)是直线l的一个方向向量，n＝(2,3,1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________．

5，－1　[∵l⊥α，∴u∥n，

∴＝＝，∴a＝5，b＝－1.]

7.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝________时，ON⊥AM.

　[以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，O，N.设M(0,1，a)(0≤a≤1)，则·＝(0,1，a)·＝－＋a＝0，∴a＝.∴当＝时，ON与AM垂直．]

8．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．

　[设M(x，y，z)，则由已知，得＝λ＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)．又＝(x，y，z－1)，∴x＝－λ，y＝λ，z＝1.∴M(－λ，λ，1)．又·＝0，＝(－λ－1，λ－2,4)，＝(－1,1,0)，

∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0，

∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝.

∴M点坐标为.]

三、解答题

9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．

[证明]　如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．

则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B.

∵P为AC的中点，

∴P.

∴＝，

又由已知，可得＝

＝.

又＝＋＝，

∴＝－＝.

∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA．

10.如图，在四棱锥E­ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求证：平面ADE⊥平面ABE.

[证明]　取BE的中点O，连接OC，

又AB⊥平面BCE，

所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．

则有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．

于是＝(0，－2，－2)，＝(－1，，1)．

设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，

则n·＝(a，b，c)·(0，－2，－2)＝－2b－2c＝0，

n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.

令b＝1，则a＝0，c＝－，

所以n＝(0,1，－)．

又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE，

所以AB⊥OC．

因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，

所以OC⊥平面ABE.

所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．

因为n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，所以n⊥m，

所以平面ADE⊥平面ABE.

1．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)

A．AP⊥AB

B．AP⊥AD

C．是平面ABCD的法向量

D．∥

ABC　[由于·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．

∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，

∴D不正确，故选ABC．]

2.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AE⊥PC于E.给出下列四个结论：①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④PC⊥BE，其中正确的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

D　[由题意得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°，

∴AC＝＝，而AC2＋AB2＝BC2，∴AB⊥AC，①对；

又PA⊥平面ABCD，故以A为原点建立空间直角坐标系，如图，

设AP＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，P(0,0，a)，

∴＝(1,0,0)，＝(0，，－a)，

∴·＝0，

∴⊥，

∴AB⊥PC，又AC∩PC＝C，

∴AB⊥平面PAC，②对；

∵AB⊥PC，AE⊥PC，

AB∩AE＝A，

∴PC⊥平面ABE，③对；

由③及BE⊂平面ABE，得PC⊥BE，④对．

故选D．]

3．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．

垂直　[以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E，F，

∴＝，＝(1,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，

则

取y＝1，则z＝1，平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，

∵＝－n，

∴∥n，

∴EF⊥平面PBC．]

4.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.

a或2a　[建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，

D.

设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，

则＝(a，－a，z)，

＝(a,0，z－3a)，

＝.

又·＝a2－a2＋0＝0，

·＝2a2＋z2－3az＝0，

解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.]

已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证：A1E⊥BD；

(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

[解]　(1)证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，b)(0≤b≤a)，

＝(－a，a，b－a)，

＝(－a，－a,0)，

·＝a2－a2＋(b－a)·0＝0，

∴⊥，即A1E⊥BD．

(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．

∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，b)，

∴⇒

⇒

取x1＝x2＝1，

得n1＝(1，－1，－1)，n2＝，由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，

∴2－＝0，即b＝.

∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．