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高中数学综合测评习题含解析新人教A版必修第一册
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全册综合巩固练习，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
综合测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A=yy=|sinx|sinx+|cosx|cosx,B=x|x2=2x,则A∪B=( )
A.2 B.-2,2 C.0,2 D.-2,0,2
解析:由已知A=-2,0,2,B=0,2,
所以A∪B=-2,0,2.
答案:D
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点2,22,则f(log22)=( )
A.2 B.3 C.12 D.1
解析:设f(x)=xa,则2a=22=2-12,故a=-12.
所以f(log22)=f12=12-12=212=2.
答案:A
3.已知sin(5π-α)-2sin5π2+αsin(-α)+cos(3π-α)=-2,则tan α=( )
A.-4 B.-14 C.-3 D.13
解析:原式=sinα-2cosα-sinα-cosα=tanα-2-tanα-1=-2,
解得tanα=-4.
答案:A
4.已知0
解析:取a=14,b=12,c=2,
可知142<122,即ac
log142=-12,log122=-1,即log142>log122,即logac>logbc,选项C成立;
log22=1,log212=-1,即log22>log212,即logcba>logcab,选项D成立.
答案:B
5.若存在x≥0,使2x+x-a≤0,则实数a的取值范围是( )
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1
解析:由题意可知存在x≥0,使a≥2x+x,
即a≥(2x+x)min.
由于函数y=2x+x在定义域内是增函数,
故当x=0时,函数取得最小值20+0=1,
所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).
答案:B
6.已知奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,当x∈0,π2时,f(x)=1-cos x,则当x∈5π2,3π时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=-1-sin x B.f(x)=1-sin x
C.f(x)=-1-cos x D.f(x)=1-cos x
解析:因为奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,
所以f(π+x)+f(-x)=0,且f(-x)=-f(x).
所以f(π+x)=f(x).
所以f(x)是以π为周期的函数.
当x∈5π2,3π时,3π-x∈0,π2,
所以f(3π-x)=1-cos(3π-x)=1+cosx.
因为f(x)是周期为π的奇函数,
所以f(3π-x)=f(-x)=-f(x).
所以-f(x)=1+cosx,
即f(x)=-1-cosx,x∈5π2,3π.
答案:C
7.已知函数f(x)=x2+log2|x|,则不等式f(x+1)-f(2)<0的解集为( )
A.(-3,-1)∪(-1,1) B.(-3,1)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,1)∪(1,3)
解析:∵f(x)=x2+log2|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+log2|x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x2+log2x单调递增,
∴不等式f(x+1)-f(2)<0等价为f(|x+1|)
答案:A
8.已知函数y=3cos2x+π3的定义域为[a,b],值域为[-1,3],则b-a的值可能是( )
A.π3 B.π2 C.3π4 D.π
解析:∵-1≤3cos2x+π3≤3,
∴-13≤cos2x+π3≤1.
∴-12<-13≤cos2x+π3≤1.
∴满足上述条件的2x+π3的最大范围是2kπ-2π3<2x+π3<2π3+2kπ(k∈Z),
即kπ-π2
同理满足上述条件的2x+π3的最小范围是2kπ≤2x+π3<2kπ+2π3(k∈Z),即kπ-π6≤x<π6+kπ(k∈Z).
∴(b-a)min>π6+π6=π3.
结合选项,可知b-a的值可能是π2.
答案:B
9.设方程lg(x-1)+x-3=0的根为x0,[x0]表示不超过x0的最大整数,则[x0]=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:构造函数f(x)=lg(x-1)+x-3.
因为函数y=lg(x-1)与y=x-3在定义域上都是增函数,所以f(x)=lg(x-1)+x-3在定义域上是增函数.
因为f(2)=lg(2-1)+2-3=-1<0,
f(3)=lg(3-1)+3-3=lg2>0,
所以函数f(x)的零点在区间(2,3)内.
所以2
10.若θ∈0,π2,则y=1sin2θ+9cos2θ的取值范围为( )
A.[6,+∞) B.[10,+∞)
C.[12,+∞) D.[16,+∞)
解析:因为sin2θ+cos2θ=1,
所以y=1sin2θ+9cos2θ=1sin2θ+9cos2θ×(sin2θ+cos2θ)
=10+cos2θsin2θ+9sin2θcos2θ≥10+29=16,
当且仅当sin2θ=14,cos2θ=34时,等号成立,故选D.
答案:D
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=-2π3对称
B.f(x)的图象关于点-5π12,0对称
C.将函数y=3sin 2x-cos 2x的图象向左平移π2个单位长度得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是-2,-3
解析:由题中图象可得A=2,T=4×π3-π12,故ω=2.
再根据“五点法”作图可得2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z).又|φ|<π2,故φ=π3.
所以函数f(x)=2sin2x+π3.
当x=-2π3时,f(x)=0,不是最值,故选项A不成立;
当x=-5π12时,f(x)=-2,不等于零,故选项B不成立;
将函数y=3sin2x-cos2x=2sin2x-π6的图象向左平移π2个单位长度得到函数y=sin2x+π2-π6=sin2x+5π6的图象,故选项C不成立;
当x∈-π2,0时,2x+π3∈-2π3,π3.
因为sin-2π3=sin-π3=-32,sin-π2=-1,
所以当方程f(x)=m在区间-π2,0上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-3],故选D.
答案:D
12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=4x-2,若对任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是( )
A.-72,+∞ B.-∞,14
C.-72,0 D.0,14
解析:g(x)=4x-2,当x<12时,g(x)<0恒成立;当x≥12时,g(x)≥0.
又因为对∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,
所以f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0在x≥12时恒成立.
所以二次函数f(x)=m(x-2m)(x+m+3)图象开口只能向下,且与x轴交点都在点12,0的左侧.
所以m<0,-m-3<12,2m<12,即m<0,m>-72,m<14,
解得-72
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知函数f(x)=12asin 2x-log122cos x,若fπ6=0,则a= .
解析:因为函数f(x)=12asin2x-log122cosx=12asin2x+cosx,
所以fπ6=34a+32=0,解得a=-2.
答案:-2
14.若不等式ax2+bx+2>0的解集为x-12
所以-12+13=-ba,-12×13=2a,解得a=-12,b=-2.
所以a-b=-10.
答案:-10
15.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 .(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
解析:设所求的年份为x,令n=x-2017+1.
由题意可知130(1+12%)n-1>200,
即lg[130(1+12%)n-1]>lg200,
即lg1.3+2+(n-1)lg1.12>lg2+2.
所以0.11+0.05(n-1)>0.3.
所以n>4.8.所以nmin=5.
所以开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021.
答案:2021年
16.已知函数f(x)=loga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m-3的图象不经过第一象限,则m的取值范围为 .
解析:函数f(x)=loga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].
当a>1时,f(x)=loga(-x+1)在区间[-2,0]上单调递减.
故f(-2)=loga3=0,f(0)=loga1=-1,无解.
当0
因为g(x)=13x+m-3的图象不经过第一象限,
所以g(0)=13m-3≤0,
解得m≥-1,即m的取值范围是[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知集合A={x|a-1
(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.
解:(1)∵B=x|0
又A=x|0
(2)若A=⌀,则a-1≥2a+1,
解得a≤-2,满足A∩B=⌀.
若A≠⌀,则由A∩B=⌀,可知2a+1>a-1,2a+1≤0,或2a+1>a-1,a-1≥1.解得-2
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若tan α+1tanα=5,求2f2α-π4-11-tanα的值.
解:(1)设最高点为(x1,1),相邻的最低点为(x2,-1),
则|x1-x2|=T2(T>0).
∴(x1-x2)2+(1+1)2=4+π2.
∴T24+4=4+π2.∴T=2π=2π|ω|.又ω>0,
∴ω=1.∴f(x)=sin(x+φ).
∵f(x)是偶函数,
∴φ=kπ+π2(k∈Z).∵0≤φ≤π,∴φ=π2.
∴f(x)=sinx+π2=cosx.
(2)∵tanα+1tanα=5,∴sinαcosα+cosαsinα=5.
∴sinαcosα=15.
∴2f2α-π4-11-tanα=2cos2α-π4-11-tanα=cos2α+sin2α-1cosα-sinαcosα=(2sinαcosα-2sin2α)cosαcosα-sinα
=2sinαcosα=25.
19.(本小题满分12分)函数f(x)=2x和g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)>g(1),f(2)g(10),
∴1x2.
从题图可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),
∴f(2017)>g(2017).又g(2017)>g(6),
∴f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
解:(1)由题图可知34T=11π6-π3=9π6=3π2,
故T=2π,所以ω=2πT=1.
又由f11π6=0,得Asin11π6+φ=0,
即11π6+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-11π6,k∈Z.
又0<φ<π2,∴当k=1时,φ=π6.
又f(0)=2,∴Asinπ6=2.
∴A=4.∴f(x)=4sinx+π6.
(2)将f(x)=4sinx+π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=4sin2x+π6的图象,再将图象向右平移π6个单位长度,得到g(x)=4sin2x-π6+π6=4sin2x-π6的图象,由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).
故g(x)的单调递增区间为kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).
21.(本小题满分12分)在充分竞争的市场环境中,产品的定价至关重要,它将影响产品的销量,进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验,总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量y(单位:万件)与售价x(单位:元)之间满足函数关系为y=14-x2,6≤x≤16,22-x,16
(2)当产品A的售价为多少时,总利润最大?(注:总利润=销量×(售价-单件成本))
解:(1)由y≥5,得14-x2≥5,6≤x≤16或22-x≥5,16
(2)由题意,总利润L=y·x-30y=xy-30=x(28-x)2-30,6≤x≤16,x(22-x)-30,16
②当16
答:当产品A的售价为14元时,总利润最大.
22.(本小题满分12分)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=(2-m)log4(1-x)+(1-2m)·log4(1+x).
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)当f(x)为奇函数时,若方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,求实数a的取值范围.
解:(1)由2f(x)+f(-x)=(2-m)log4(1-x)+(1-2m)log4(1+x),2f(-x)+f(x)=(2-m)log4(1+x)+(1-2m)log4(1-x),
可得f(x)=log4(1-x)-mlog4(1+x),x∈(-1,1).
当m=1时,f(x)=-f(-x),此时f(x)为奇函数;当m=-1时,f(x)=-f(-x),此时f(x)为偶函数;当m≠1,且m≠-1时,f(x)是非奇非偶函数.
(2)由(1)可知当m=1时,f(x)是奇函数.此时f(x)=log4(1-x)-log4(1+x)=log41-x1+x.
因为方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,
即log42x-12x+1-12x=12a,
即log22x-12x+1-x=a在x>0时有实根.
令2x=t,t>1,设函数g(t)=log2t-1t+1-log2t,t>1,只需求函数g(t)的值域.
可知g(t)=log2t-1t2+t=log21t-1+2t-1+3,t>1,
因为t-1+2t-1+3≥3+22,
当且仅当t=2+1时,取得最小值3+22,
所以g(t)≤log2(3-22),
所以a≤log2(3-22),
即实数a的取值范围是(-∞,log2(3-22)].
综合测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A=yy=|sinx|sinx+|cosx|cosx,B=x|x2=2x,则A∪B=( )
A.2 B.-2,2 C.0,2 D.-2,0,2
解析:由已知A=-2,0,2,B=0,2,
所以A∪B=-2,0,2.
答案:D
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点2,22,则f(log22)=( )
A.2 B.3 C.12 D.1
解析:设f(x)=xa,则2a=22=2-12,故a=-12.
所以f(log22)=f12=12-12=212=2.
答案:A
3.已知sin(5π-α)-2sin5π2+αsin(-α)+cos(3π-α)=-2,则tan α=( )
A.-4 B.-14 C.-3 D.13
解析:原式=sinα-2cosα-sinα-cosα=tanα-2-tanα-1=-2,
解得tanα=-4.
答案:A
4.已知0
解析:取a=14,b=12,c=2,
可知142<122,即ac
log142=-12,log122=-1,即log142>log122,即logac>logbc,选项C成立;
log22=1,log212=-1,即log22>log212,即logcba>logcab,选项D成立.
答案:B
5.若存在x≥0,使2x+x-a≤0,则实数a的取值范围是( )
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1
解析:由题意可知存在x≥0,使a≥2x+x,
即a≥(2x+x)min.
由于函数y=2x+x在定义域内是增函数,
故当x=0时,函数取得最小值20+0=1,
所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).
答案:B
6.已知奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,当x∈0,π2时,f(x)=1-cos x,则当x∈5π2,3π时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=-1-sin x B.f(x)=1-sin x
C.f(x)=-1-cos x D.f(x)=1-cos x
解析:因为奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,
所以f(π+x)+f(-x)=0,且f(-x)=-f(x).
所以f(π+x)=f(x).
所以f(x)是以π为周期的函数.
当x∈5π2,3π时,3π-x∈0,π2,
所以f(3π-x)=1-cos(3π-x)=1+cosx.
因为f(x)是周期为π的奇函数,
所以f(3π-x)=f(-x)=-f(x).
所以-f(x)=1+cosx,
即f(x)=-1-cosx,x∈5π2,3π.
答案:C
7.已知函数f(x)=x2+log2|x|,则不等式f(x+1)-f(2)<0的解集为( )
A.(-3,-1)∪(-1,1) B.(-3,1)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,1)∪(1,3)
解析:∵f(x)=x2+log2|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+log2|x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x2+log2x单调递增,
∴不等式f(x+1)-f(2)<0等价为f(|x+1|)
答案:A
8.已知函数y=3cos2x+π3的定义域为[a,b],值域为[-1,3],则b-a的值可能是( )
A.π3 B.π2 C.3π4 D.π
解析:∵-1≤3cos2x+π3≤3,
∴-13≤cos2x+π3≤1.
∴-12<-13≤cos2x+π3≤1.
∴满足上述条件的2x+π3的最大范围是2kπ-2π3<2x+π3<2π3+2kπ(k∈Z),
即kπ-π2
同理满足上述条件的2x+π3的最小范围是2kπ≤2x+π3<2kπ+2π3(k∈Z),即kπ-π6≤x<π6+kπ(k∈Z).
∴(b-a)min>π6+π6=π3.
结合选项,可知b-a的值可能是π2.
答案:B
9.设方程lg(x-1)+x-3=0的根为x0,[x0]表示不超过x0的最大整数,则[x0]=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:构造函数f(x)=lg(x-1)+x-3.
因为函数y=lg(x-1)与y=x-3在定义域上都是增函数,所以f(x)=lg(x-1)+x-3在定义域上是增函数.
因为f(2)=lg(2-1)+2-3=-1<0,
f(3)=lg(3-1)+3-3=lg2>0,
所以函数f(x)的零点在区间(2,3)内.
所以2
10.若θ∈0,π2,则y=1sin2θ+9cos2θ的取值范围为( )
A.[6,+∞) B.[10,+∞)
C.[12,+∞) D.[16,+∞)
解析:因为sin2θ+cos2θ=1,
所以y=1sin2θ+9cos2θ=1sin2θ+9cos2θ×(sin2θ+cos2θ)
=10+cos2θsin2θ+9sin2θcos2θ≥10+29=16,
当且仅当sin2θ=14,cos2θ=34时,等号成立,故选D.
答案:D
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=-2π3对称
B.f(x)的图象关于点-5π12,0对称
C.将函数y=3sin 2x-cos 2x的图象向左平移π2个单位长度得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是-2,-3
解析:由题中图象可得A=2,T=4×π3-π12,故ω=2.
再根据“五点法”作图可得2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z).又|φ|<π2,故φ=π3.
所以函数f(x)=2sin2x+π3.
当x=-2π3时,f(x)=0,不是最值,故选项A不成立;
当x=-5π12时,f(x)=-2,不等于零,故选项B不成立;
将函数y=3sin2x-cos2x=2sin2x-π6的图象向左平移π2个单位长度得到函数y=sin2x+π2-π6=sin2x+5π6的图象,故选项C不成立;
当x∈-π2,0时,2x+π3∈-2π3,π3.
因为sin-2π3=sin-π3=-32,sin-π2=-1,
所以当方程f(x)=m在区间-π2,0上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-3],故选D.
答案:D
12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=4x-2,若对任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是( )
A.-72,+∞ B.-∞,14
C.-72,0 D.0,14
解析:g(x)=4x-2,当x<12时,g(x)<0恒成立;当x≥12时,g(x)≥0.
又因为对∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,
所以f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0在x≥12时恒成立.
所以二次函数f(x)=m(x-2m)(x+m+3)图象开口只能向下,且与x轴交点都在点12,0的左侧.
所以m<0,-m-3<12,2m<12,即m<0,m>-72,m<14,
解得-72
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知函数f(x)=12asin 2x-log122cos x,若fπ6=0,则a= .
解析:因为函数f(x)=12asin2x-log122cosx=12asin2x+cosx,
所以fπ6=34a+32=0,解得a=-2.
答案:-2
14.若不等式ax2+bx+2>0的解集为x-12
所以-12+13=-ba,-12×13=2a,解得a=-12,b=-2.
所以a-b=-10.
答案:-10
15.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 .(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
解析:设所求的年份为x,令n=x-2017+1.
由题意可知130(1+12%)n-1>200,
即lg[130(1+12%)n-1]>lg200,
即lg1.3+2+(n-1)lg1.12>lg2+2.
所以0.11+0.05(n-1)>0.3.
所以n>4.8.所以nmin=5.
所以开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021.
答案:2021年
16.已知函数f(x)=loga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m-3的图象不经过第一象限,则m的取值范围为 .
解析:函数f(x)=loga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].
当a>1时,f(x)=loga(-x+1)在区间[-2,0]上单调递减.
故f(-2)=loga3=0,f(0)=loga1=-1,无解.
当0
因为g(x)=13x+m-3的图象不经过第一象限,
所以g(0)=13m-3≤0,
解得m≥-1,即m的取值范围是[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知集合A={x|a-1
(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.
解:(1)∵B=x|0
又A=x|0
(2)若A=⌀,则a-1≥2a+1,
解得a≤-2,满足A∩B=⌀.
若A≠⌀,则由A∩B=⌀,可知2a+1>a-1,2a+1≤0,或2a+1>a-1,a-1≥1.解得-2
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若tan α+1tanα=5,求2f2α-π4-11-tanα的值.
解:(1)设最高点为(x1,1),相邻的最低点为(x2,-1),
则|x1-x2|=T2(T>0).
∴(x1-x2)2+(1+1)2=4+π2.
∴T24+4=4+π2.∴T=2π=2π|ω|.又ω>0,
∴ω=1.∴f(x)=sin(x+φ).
∵f(x)是偶函数,
∴φ=kπ+π2(k∈Z).∵0≤φ≤π,∴φ=π2.
∴f(x)=sinx+π2=cosx.
(2)∵tanα+1tanα=5,∴sinαcosα+cosαsinα=5.
∴sinαcosα=15.
∴2f2α-π4-11-tanα=2cos2α-π4-11-tanα=cos2α+sin2α-1cosα-sinαcosα=(2sinαcosα-2sin2α)cosαcosα-sinα
=2sinαcosα=25.
19.(本小题满分12分)函数f(x)=2x和g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)>g(1),f(2)
∴1
从题图可以看出,当x1
∴f(2017)>g(2017).又g(2017)>g(6),
∴f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
解:(1)由题图可知34T=11π6-π3=9π6=3π2,
故T=2π,所以ω=2πT=1.
又由f11π6=0,得Asin11π6+φ=0,
即11π6+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-11π6,k∈Z.
又0<φ<π2,∴当k=1时,φ=π6.
又f(0)=2,∴Asinπ6=2.
∴A=4.∴f(x)=4sinx+π6.
(2)将f(x)=4sinx+π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=4sin2x+π6的图象,再将图象向右平移π6个单位长度,得到g(x)=4sin2x-π6+π6=4sin2x-π6的图象,由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).
故g(x)的单调递增区间为kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).
21.(本小题满分12分)在充分竞争的市场环境中,产品的定价至关重要,它将影响产品的销量,进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验,总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量y(单位:万件)与售价x(单位:元)之间满足函数关系为y=14-x2,6≤x≤16,22-x,16
(2)当产品A的售价为多少时,总利润最大?(注:总利润=销量×(售价-单件成本))
解:(1)由y≥5,得14-x2≥5,6≤x≤16或22-x≥5,16
(2)由题意,总利润L=y·x-30y=xy-30=x(28-x)2-30,6≤x≤16,x(22-x)-30,16
②当16
答:当产品A的售价为14元时,总利润最大.
22.(本小题满分12分)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=(2-m)log4(1-x)+(1-2m)·log4(1+x).
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)当f(x)为奇函数时,若方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,求实数a的取值范围.
解:(1)由2f(x)+f(-x)=(2-m)log4(1-x)+(1-2m)log4(1+x),2f(-x)+f(x)=(2-m)log4(1+x)+(1-2m)log4(1-x),
可得f(x)=log4(1-x)-mlog4(1+x),x∈(-1,1).
当m=1时,f(x)=-f(-x),此时f(x)为奇函数;当m=-1时,f(x)=-f(-x),此时f(x)为偶函数;当m≠1,且m≠-1时,f(x)是非奇非偶函数.
(2)由(1)可知当m=1时,f(x)是奇函数.此时f(x)=log4(1-x)-log4(1+x)=log41-x1+x.
因为方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,
即log42x-12x+1-12x=12a,
即log22x-12x+1-x=a在x>0时有实根.
令2x=t,t>1,设函数g(t)=log2t-1t+1-log2t,t>1,只需求函数g(t)的值域.
可知g(t)=log2t-1t2+t=log21t-1+2t-1+3,t>1,
因为t-1+2t-1+3≥3+22,
当且仅当t=2+1时,取得最小值3+22,
所以g(t)≤log2(3-22),
所以a≤log2(3-22),
即实数a的取值范围是(-∞,log2(3-22)].
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