人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 【学习目标】课程标准学科素养1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；2.能借助指数函数图象及单调性比较大小；3.会解简单的指数方程、不等式；4.会判断指数型函数的奇偶性。1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】一．指数函数图象位置关系一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：1.“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数      ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数       .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.2.指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于    对称.二．比较大小1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的         来判断；2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的       的变化规律来判断；3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过       来判断.三.解指数方程、不等式(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的     求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的     求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.四.指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有       的定义域.(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有      的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性      .【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.(　　)(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)(3)函数y＝2在其定义域上为减函数．(　　)(4)若am>1，则m>0.(　　)【经典例题】题型一　利用指数函数的单调性比较大小点拨：当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1. 例1 比较下列各题中两个值的大小.①1.7－2.5,1.7－3；   ②1.70.3,1.50.3；   ③1.70.3,0.83.1.    【跟踪训练】1 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a<b<c     B.a<c<b     C.b<a<c  D.b<c<a 题型二　简单的指数不等式的解法点拨：(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论．(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． 例2　(1)不等式4x<42－3x的解集是________.(2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．   【跟踪训练】2 已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N＝ (　　)A．{－1,1}     B．{－1}    C．{0}    D．{－1,0}题型三　指数型函数的单调性点拨：(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.例3 判断f(x)＝()x2-2x的单调性，并求其值域．     【跟踪训练】3 求函数y＝ 的单调区间.     题型四　指数函数性质的综合问题例4 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围。      【跟踪训练】4 已知函数f(x)＝.(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)求f(x)的值域．           【当堂达标】1.已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)A.是奇函数，且在R上是增函数     B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数     D.是偶函数，且在R上是减函数2.函数y＝1－x的单调增区间为(　　)A．(－∞，＋∞)     B．(0，＋∞)   C．(1，＋∞)   D．(0,1)3.(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（    ）A． B．C． D．4.函数y＝x，y＝2x，y＝3x的图象(如图)分别是________.(用序号作答) 5.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.6.比较下列各组值的大小：(1)1.8－0.1，1.8－0.2；    (2)1.90.3，0.73.1；    (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).    7.已知函数f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0,3]上的值域．     8.设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
【参考答案】【自主学习】一．由大变小  由大变小  y轴 二．单调性 图象 中间值三．单调性  单调性 四. 相同 相同 相反【小试牛刀】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×【经典例题】例1 解　①∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.②方法一　∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二　∵1.50.3＞0，且＝0.3，又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.③∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.【跟踪训练】1 C 解析：∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.例2 （1） 解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.（2）  解 　①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为增函数，∴－5x>x＋7，解得x<－.②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为减函数，∴－5x<x＋7，解得x>－.综上所述，当a>1时，x的取值范围为.当0<a<1时，x的取值范围为.【跟踪训练】2  B 解析：∵＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．例3 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝()x2-2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝()u，u∈[－1，＋∞)，∵0<u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．【跟踪训练】3 解　设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数.当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞).例4 解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.(2)由(1)知f(x)＝－＋，故f(x)在R上为减函数.(3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2).由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，∴k的取值范围是.【跟踪训练】4  (1)证明　由题意知f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)解　f(x)在定义域上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝＝(1－)－(1－)＝.∵x1<x2，∴－>0, ＋1>0, ＋1>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)为R上的增函数．(3)解　f(x)＝＝1－，∵3x>0⇒3x＋1>1⇒0<<2⇒－2<－<0，∴－1<1－<1，即f(x)的值域为(－1,1)．【当堂达标】1.A 解析:f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，y＝为减函数，则f(x)＝3x－为增函数，故选A.2.A 解析: 设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞),即为y＝1－x的递增区间．3.ACD 解析:对于A，，，，正确；对于B，，，，错误；对于C，在定义域中单调递增，，正确；对于D，，又，则，正确.4.①，②，③5. {x|x<1} 解析: 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.6.解: (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1.(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3<a2.5；当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，又1.3<2.5，故a1.3>a2.5.7.解: (1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域为.8.(1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，故k＝1符合题意．方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，∴解得k＝1.(2)∵f(1)＝a－>0，又a>0，且a≠1，∴a>1.∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，∴f(x)是R上的增函数．故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0⇔f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4)⇔x2＋2x>x2－4⇔x>－2.∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．