苏教版 (2019)必修 第二册15.3 互斥事件和独立事件优秀习题

15.3互斥事件和独立事件同步练习苏教版（  2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）

1. 下列事件A，B是相互独立事件的是

A. 一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”
D. A表示“一个灯泡能用小时”，B表示“一个灯泡能用小时”

2. 随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为

A.  B.  C.  D.

3. 当时，若，则事件A与   

A. 互斥 B. 对立 C. 独立 D. 不独立

4. 设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是

A. A与B是对立事件 B. A与B是互斥事件
C. A与是相互独立事件 D. 与不相互独立

5. 坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用表示第一次取得白球，表示第二次取得白球，则和是

A. 互斥事件 B. 相互独立事件
C. 对立事件 D. 不相互独立的事件

6. 如果事件A，B互斥，那么

A. 是必然事件
B. A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C. A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D. A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件

7. 袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，用C表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是

A. A与B为互斥事件 B. B与C为对立事件
C. A与B非相互独立事件 D. A与C为相互独立事件

8. 某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为，出现丙级品的概率为，则对产品抽查一次抽得正品的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

A.  B.  C.  D.

10. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”，B为“第二次出现偶数点”，则有   

A. A与B相互独立 B.
C. A与B互斥 D.

11. 若干个人站成一排，其中是互斥事件的是 

A. “甲站排头”与“乙站排尾”
B. “甲站排头”与“乙不站排尾”
C. “甲站排头”与“乙站排头”
D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”

12. 3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为   

A.  B.  C.  D.

13. 分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚为正面”为事件A，“第二枚为正面”为事件B，“两枚结果相同”为事件C，以下三个结论：事件A和事件B是相互独立事件；事件A和事件C相互独立；事件B和事件C相互独立．其中正确的个数为   

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

14. 若随机事件A，B互斥，且A，B发生的概率均不为0，，，则实数a的取值范围为          ．
15. 已知随机事件A，B互为对立事件，且，则          ．
16. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为          ．
17. 3粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为若坑内至少有1粒种子发芽，则不需要补种，若坑内的种子都没有发芽，则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为________．
18. 某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级均属次品，生产中出现乙等产品的概率为，丙等产品的概率为对成品抽查1件，恰好是正品的概率为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

19. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

Ⅰ求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
Ⅱ求该选手至多进入第三轮考核的概率；






 

20. 有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：

Ⅰ人都未解决的概率；

Ⅱ问题得到解决的概率．






 

21. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．

求该选手进入第三轮才被淘汰的概率

求该选手至多进入第二轮考核的概率．






 

22. 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，每钟预防措施最多可以使用一次，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后，此突发事件不发生的概率和所需费用如下表：

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．






 

23. 甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：

甲获胜的概率；

甲不输的概率．






 

24. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了相互独立事件的判断与概率计算，是基础题．
根据独立事件的概念，逐一判定即可得出结论．
【解答】
解：检验即可
A中，，
所以事件A，B相互独立；
B中，，
，
所以事件A，B不是相互独立的；
C中，两个事件互斥，所以不是相互独立事件；
D中，事件B包含于事件A，所以不是相互独立事件．
故选A．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则根据互斥事件的概率加法公式即可求解．
本题考查了互斥事件的概率加法公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
【解答】
解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则，
因为，，
所以，
故选：B．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了互斥事件，对立事件，互斥事件与相互独立事件的判断，属于较易题根据条件概率公式化简已知等式得到，由此得到结论．
【解答】
解：因为，
即，即，，
事件A与B独立．
故选C．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了相互独立事件与互斥、对立事件之间的判定问题，是基础题．
相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是一个事件发生，另一个事件就不发生，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；由相互独立事件以及互斥、对立事件的概念判定选项中的正确命题．
【解答】
解：A中，A与B是相互独立事件，但A与B不一定是对立事件，A错误；
B中，A与B是相互独立事件，但是A与B不一定是互斥事件，B错误；
C中，当A与B是相互独立事件时，A与是相互独立事件，C正确；
D中，A与B是相互独立事件时，与是相互独立事件，D错误；
故选：C．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件、互斥事件与独立事件的概念，关键是对相关概念的理解与应用属于基础题．

发生的结果对发生的结果有影响，根据相互独立事件的定义可得结果．

【解答】

解：．

若发生了，；若不发生，，

发生的结果对发生的结果有影响，

与不是相互独立事件．

故选D．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
根据互斥事件和对立事件的概念对各选项逐一分析，即可得到答案．

【解答】

解：如果事件A，B互斥，用韦恩图表示如下：

A.除了，还可能有其他事件发生，故A不一定是必然事件，故错误；
B.由互斥事件的定义，A、B互斥即为不可能事件，则A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确；
C.A的对立事件与B的对立事件可能同时发生，故不一定是互斥事件，故错误；
D.当A与B是对立事件时，A的对立事件与B的对立事件互斥；
当A与B互斥但不对立时，A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件、互斥事件与对立事件的概念，属于基础题．

根据相互独立事件、互斥事件与对立事件的概念逐项分析判断即可．

【解答】

解：由题意．

若A发生了即C不发生，；
若A不发生即C发生，，
发生的结果对B发生的结果有影响，

与B不是互斥事件，且非相互独立事件，A错误，C正确；
分析可知A与C是对立事件，B与C不是对立事件，即B错误，
A与C不是相互独立事件，D错误，
故选C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件和对立事件的概率，对立事件包含于互斥事件，即对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键，属于基础题．
由题意知本产品只有正品和次品两种情况，抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是，根据对立事件的概率得到结果．

【解答】

解：抽查得到正品和抽查得到次品是对立的，
抽查得到次品的概率是，
抽查一次抽得正品的概率是，
故选D．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查积事件与和事件的概率求解，属于基础题．
记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果．

【解答】

解：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，
则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，
“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以
，

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为．

故选：C．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件和相互独立事件，是基础题．
根据定义和概率公式进行解答．

【解答】

解：对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确．
对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，所以B，C不正确．
对于选项D，由于A与B相互独立，因此，所以D不正确．
故选A．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件的定义，属于基础题．
根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得答案．

【解答】

解：根据互斥事件不能同时发生，判断C中两事件是互斥事件；
A、B、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．
故选：C．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用的相关知识，试题难度较易．
首先求出3位大学生均不在同一节车厢的概率，然后根据对立事件求解．
【解答】
解：3位大学生的乘车方式共有种，
其中均不在同一节车厢的乘车方式有种，
所以3位大学生均不在同一节车厢的概率为，
故至少有2位大学生在同一节车厢的概率为，
故选C．  

13.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件的定义，属于基础题．
根据相互独立事件的定义逐一判断即可．

【解答】

解：由于A中的事件发生与否对于B，C中的事件是否发生不产生影响，
同理：B中的事件发生与否对于A，C中的事件是否发生不产生影响，
C中的事件发生与否对于A，B中的事件是否发生不产生影响，
故A与B，A与C，B与C是相互独立的，其中正确的个数为3个，
故选A．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的基本性质性质，属于基础题．
由题意可得即可求解．

【解答】

解：由题意可得

解得．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查事件和对立事件概率间的关系，属于基础题．
根据对立事件概率之和为1求解即可求解．

【解答】

解：因为随机事件A，B互为对立事件，故，而，
故，解得．

故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率基本性质，是基础题．
利用必然事件概率为1，即可求出乙获胜的概率．

【解答】

解：甲、乙两人下棋，”两人下成和棋“、”甲获胜“、”乙获胜“为互斥事件，且他们的和事件为必然事件，设乙获胜的概率为p，
两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，
则，
乙获胜的概率为．
故答案为．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查独立重复试验的概率公式，属于基础题、甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽，根据独立重复试验的概率公式写出甲坑内的3粒种子都不发芽的概率，根据对立事件的概率得到结果．
【解答】 解：甲坑不需要补种的概率是．  

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件和对立事件的概率计算，属于基础题．
由事件A，B，C彼此互斥，且A与是对立事件，得到结果．

【解答】

解：记事件甲级品，乙级品，丙级品，
事件A，B，C彼此互斥，且A与是对立事件，
．
故答案为．

19.【答案】解：设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”．

由已知，，，．

Ⅰ设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则；
答：该选手进入第三轮才被淘汰的概率为；

Ⅱ设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则

．
答：该选手至多进入第三轮考核的概率．

【解析】本题考查互斥、对立、独立事件概率的求解，属于基础题．
Ⅰ记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为 2，3，，由题意得 ，，，，则该选手进入第三轮才被淘汰的概率为，代入乘法公式求解即可．
Ⅱ该选手至多进入第三轮考核的可能情况有三种，运用公式即可求解．
 

20.【答案】解：Ⅰ有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，
两人都试图独立地在半小时内解决它，
则两人都未解决的概率．
Ⅱ问题得到解决的对立事件是两人都未解决，
问题得到解决的概率．
 

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
Ⅰ两人都试图独立地在半小时内解决它，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出两人都未解决的概率．
Ⅱ问题得到解决的对立事件是两人都未解决，由此利用对立事件概率计算公式能求出问题得到解决的概率．
 

21.【答案】解：记“该选手正确回答第i轮问题”为事件2，，则，，．

该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 ．

该选手至多进入第二轮考核的概率为．

【解析】本题考查互斥、对立、独立事件概率的求解，属于基础题．
记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为 2，，由题意得 ，，，则该选手进入第三轮才被淘汰的概率为求解即可；
该选手至多进入第二轮考核的可能情况有两种，运用公式即可求解．
 

22.【答案】解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元．
由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为．
方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，
由表可知．联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，
其概率为．
方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，
故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为
．
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大．
 

【解析】本题考查概率的基础知识，考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率，以及运用概率知识解决实际问题的能力，属于基础题．
单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施．
 

23.【答案】解：“甲获胜”看做是“和棋或乙获胜”的对立事件，
所以“甲获胜”的概率为．
解法一：“甲不输”可看做是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
所以．
解法二：“甲不输”可看做是“乙获胜”的对立事件，
所以．
 

【解析】本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题型，解此题的关键是正确找出甲、乙两人下棋后的所有结果，即“甲获胜、和棋、乙获胜”，然后找出它们间的关系互斥还是对立，再利用相关公式计算即可．
 

24.【答案】解：5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，
把3个选择题记为，，，2个判断题记为，．
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
，，，，，，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：
，，，，，，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：
，，，，，，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：
，，共2种，
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为；
“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，
故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为．
 

【解析】本题考查古典概型的概率，关键是不重不漏的列举满足条件的基本事件，属于基础题．
5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，把3个选择题记为、、，2个判断题记为、．
求出“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况，和“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况，根据概率公式计算即可；
求出“甲、乙都抽到判断题”的情况，根据古典概型的概率公式计算即可．