苏教版 (2019)必修 第二册15.3 互斥事件和独立事件获奖教案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册15.3 互斥事件和独立事件获奖教案，共15页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，补偿训练，跟踪训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。

编号：038 课题:§15.3.1 互斥事件的概率
目标要求
1、理解并掌握互斥事件的概念和互斥事件的概率．
2、理解并掌握随机事件概率的性质．
3、理解并掌握互斥事件的判断．
4、理解并掌握互斥事件和对立事件的概率.
学科素养目标
通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．
重点难点
重点：互斥事件的判断；
难点：互斥事件和对立事件的概率．
教学过程
基础知识点
1.互斥事件的概念
(1)互斥事件:事件A与B__________________发生,这时,我们称A,B为互斥事件.
(2)对立事件:互斥事件A,C中必有一个发生,这时,我们称A,C为对立事件,记作或.
【思考】
互斥事件一定是对立事件吗?对立事件一定是互斥事件吗?

2.互斥事件的概率
(1)互斥事件的概率:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)互斥事件概率的推广
如果事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
3.随机事件概率的性质
(1);
(2)当A⊆B时,P(A)≤P(B);
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
【思考】
公式P(A+B)=P(A)+P(B)的适用范围是什么?

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 从装有6个小球的袋子中任取2个小球,则事件“至少1个红球”与“至多1个红球”是对立事件.
B. 若事件A和B为互斥事件,且A+B=Ω,则A和B为对立事件.
C. 若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.
D. 若事件A和B为互斥事件,则.

题2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,
那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

题3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出红球或黑球的概率是______.

关键能力·合作学习
类型一 互斥事件的判断(逻辑推理)
【题组训练】
题4.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少1名女生”与事件“全是男生” ( )
A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件

题5.将一个骰子抛掷一次,设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2,事件B表示向上的一面出现的点数不小于3,事件C表示向上的一面出现奇数点,则 ( )
A.A与B是对立事件 B.A与B是互斥而非对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件

题6.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.

【解题策略】
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.
①事件A与B互斥,即集合AB=∅;
②事件A与B对立,集合AB=∅,且A+B=Ω.
【补偿训练】
题7.把标号为1,2,3,4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人1张,事件A表示随机事件“甲分得1号卡片”,事件B表示随机事件“乙分得1号卡片”.
(1)AB,A+B分别指什么事件?
(2)事件A与事件B是否为互斥事件?若是互斥事件,是否互为对立事件?若不是对立事件,请分别说出事件A、事件B的对立事件.

类型二 互斥事件的概率(数学运算)
角度1 互斥事件的概率
【典例】题8.盒子中有若干个红球和黄球,已知从盒中取出2个球都是红球的概率为,从盒中取出2个球都是黄球的概率是,则从盒中任意取出2个球恰好
是同一颜色的概率是 ( )
A. B. C. D.

角度2 对立事件的概率
【典例】题9.已知随机事件A和B互斥,且,则( )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8

【解题策略】
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.
【题组训练】
题10.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,
那么摸出的球是黄球或白球的概率为 ( )
A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.6

题11.已知两个事件A和B互斥,记事件是事件B的对立事件,且,则P(A+B)=________.

题12.已知三个事件A,B,C两两互斥,且,
求.

类型三 互斥事件概率公式的应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】题13.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

【解题策略】
复杂事件概率的计算方法
方法一:将所求事件转化为一些彼此互斥的事件的和;
方法二:转化为该事件的对立事件,先求对立事件的概率,再求该事件的概率.
【跟踪训练】
题14.受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下:
品牌
甲
乙
首次出现
故障的时
间x(年)
0 1 2 x>3
0 1 x>2
轿车数
量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(将频率视为概率).

课堂检测·素养达标
题15.如果事件A,B互斥,且事件C,D分别是A,B的对立事件,那么 ( )
A.A+B是必然事件 B.C+D是必然事件
C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥

题16.设事件A,B,已知,
则A,B之间的关系一定为 ( )
A.互斥事件 B.两个任意事件 C.非互斥事件 D.对立事件

题17.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为0.2,甲、乙下成和棋的概率为0.5,则乙不输的概率为______.

题18.某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环;
事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环;
事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.



编号：038 课题:§15.3.1 互斥事件的概率
目标要求
1、理解并掌握互斥事件的概念和互斥事件的概率．
2、理解并掌握随机事件概率的性质．
3、理解并掌握互斥事件的判断．
4、理解并掌握互斥事件和对立事件的概率.
学科素养目标
通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．
重点难点
重点：互斥事件的判断；
难点：互斥事件和对立事件的概率．
教学过程
基础知识点
1.互斥事件的概念
(1)互斥事件:事件A与B______不可能同时_____发生,这时,我们称A,B为互斥事件.
(2)对立事件:互斥事件A,C中必有一个发生,这时,我们称A,C为对立事件,记作或.
【思考】
互斥事件一定是对立事件吗?对立事件一定是互斥事件吗?
提示:对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.
2.互斥事件的概率
(1)互斥事件的概率:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)互斥事件概率的推广
如果事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
3.随机事件概率的性质
(1);
(2)当A⊆B时,P(A)≤P(B);
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
【思考】
公式P(A+B)=P(A)+P(B)的适用范围是什么?
提示:该公式只适用于事件A与事件B互斥的情形,若事件A与事件B不互斥,则不能利用该公式计算事件发生的概率.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 从装有6个小球的袋子中任取2个小球,则事件“至少1个红球”与“至多1个红球”是对立事件.
B. 若事件A和B为互斥事件,且A+B=Ω,则A和B为对立事件.
C. 若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.
D. 若事件A和B为互斥事件,则.
【答案】选BCD
提示:A×.从装有6个小球的袋子中任取2个小球,事件“至少1个红球”包含“1个红球或2个红球”,而“至多1个红球”包含“0个红球或1个红球”,可以同时发生,不是对立事件.
B√.因为A+B=Ω,所以A,B必有一个发生.
C√.因为两个事件是对立的,所以必有一个发生,所以两个事件概率之和为1.
D√.这是互斥事件的概率计算公式.
题2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,
那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
【解析】选C.A中两个事件能同时发生,故不互斥;同样,B中两个事件也可同时发生,故不互斥;D中两个事件是对立的.
题3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出红球或黑球的概率是______.
【解析】因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.
所以摸出红球或黑球的概率是0.42+0.3=0.72.
答案:0.72
关键能力·合作学习
类型一 互斥事件的判断(逻辑推理)
【题组训练】
题4.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少1名女生”与事件“全是男生” ( )
A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件
【解析】选C.至少1名女生的对立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”与事件“全是男生” 既是互斥事件,也是对立事件.
题5.将一个骰子抛掷一次,设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2,事件B表示向上的一面出现的点数不小于3,事件C表示向上的一面出现奇数点,则 ( )
A.A与B是对立事件 B.A与B是互斥而非对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件
【解析】选A.事件A包含的基本事件为向上的点数为1,2;
事件B包含的基本事件为向上的点数为3,4,5,6;
事件C包含的基本事件为向上的点数为1,3,5;
由于事件A,B不可能同时发生,且事件A,B的和事件为必然事件,所以A与B是对立事件
当向上一面的点数为3时,事件B,C同时发生,则B与C不互斥也不对立.
题6.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由是:因为40张牌中只有红色和黑色两种颜色的牌,所以从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,也不是对立事件.
【解题策略】
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.
①事件A与B互斥,即集合AB=;
②事件A与B对立,集合AB=,且A+B=Ω.
【补偿训练】
题7.把标号为1,2,3,4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人1张,事件A表示随机事件“甲分得1号卡片”,事件B表示随机事件“乙分得1号卡片”.
(1)AB,A+B分别指什么事件?
(2)事件A与事件B是否为互斥事件?若是互斥事件,是否互为对立事件?若不是对立事件,请分别说出事件A、事件B的对立事件.
【解析】(1)根据题意,事件A和事件B不可能同时发生,所以AB是不可能事件;
A+B表示事件“甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”.
(2)由(1)可知事件A和事件B不可能同时发生,所以事件A与事件B是互斥事件,又因为事件A与事件B可以都不发生,如甲分得2号卡片,同时乙分得3号卡片,所以事件A与事件B不是对立事件,事件A的对立事件是指事件“甲未分得1号卡片”,事件B的对立事件是指事件“乙未分得1号卡片”.
类型二 互斥事件的概率(数学运算)
角度1 互斥事件的概率
【典例】题8.盒子中有若干个红球和黄球,已知从盒中取出2个球都是红球的概率为,从盒中取出2个球都是黄球的概率是,则从盒中任意取出2个球恰好
是同一颜色的概率是 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】根据互斥事件的概率计算公式求解.
【解析】选A.设“从中取出2个球都是红球”为事件A;“从中取出2个球都是黄
球”为事件B;“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C,则C=A∪B,且事件A
与B互斥,所以,
即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为.
角度2 对立事件的概率
【典例】题9.已知随机事件A和B互斥,且,则( )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8
【思路导引】先由互斥事件的概率计算公式求出事件A的概率,再求事件A的对立事件的概率.
【解析】选A.因为事件A和B互斥,
所以,则P(A)=0.7-0.2=0.5,故.
【解题策略】
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.
【题组训练】
题10.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,
那么摸出的球是黄球或白球的概率为 ( )
A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.6
【解析】选A.设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的概率为P(B),摸出白球的概率为P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.
题11.已知两个事件A和B互斥,记事件是事件B的对立事件,且,则P(A+B)=________.
【解析】由，得P(B)=0.4,且事件A与B互斥,
则.
答案:0.7
题12.已知三个事件A,B,C两两互斥,且,
求.
【解析】因为A,B,C两两互斥,
所以.
类型三 互斥事件概率公式的应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】题13.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

【解题策略】
复杂事件概率的计算方法
方法一:将所求事件转化为一些彼此互斥的事件的和;
方法二:转化为该事件的对立事件,先求对立事件的概率,再求该事件的概率.
【跟踪训练】
题14.受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下:
品牌
甲
乙
首次出现
故障的时
间x(年)
0 1 2 x>3
0 1 x>2
轿车数
量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(将频率视为概率).
【解析】(1)设A,B,C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年,第2年和第3年之内,设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内,因为A,B,C是互斥的,其概率分别为,
所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=,
即首次出现故障发生在保修期内的概率为.
(2)乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为,故首次出现
故障发生在保修期内的概率为.
课堂检测·素养达标
题15.如果事件A,B互斥,且事件C,D分别是A,B的对立事件,那么 ( )
A.A+B是必然事件 B.C+D是必然事件
C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥
【解析】选B.由于事件A与B互斥,即AB=,则C+D=Ω是必然事件.
题16.设事件A,B,已知,
则A,B之间的关系一定为 ( )
A.互斥事件 B.两个任意事件 C.非互斥事件 D.对立事件
【解析】选A.因为,所以有P(A+B)=P(A)+P(B)≠1,
因此事件A,B是互斥事件,不是对立事件.
题17.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为0.2,甲、乙下成和棋的概率为0.5,则乙不输的概率为______.
【解析】由已知知,乙获胜的概率为1-0.2-0.5=0.3,所以乙不输的概率为0.3+0.5=0.8.
答案:0.8
题18.某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环;
事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环;
事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.
【解析】事件A“命中环数大于7环”包括“命中8环,命中9环,命中10环”;事件C“命中环数小于6环”包括“命中0环,命中1环,命中2环,命中3环,命中4环,命中5环”.
所以事件A与事件C为互斥事件,事件B与事件C为互斥事件,事件C与事件D是对立事件.