高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性优秀同步训练题

10.2　事件的相互独立性

课后篇巩固提升

基础巩固

1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为.

2.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为(　　)

A.pq B.p+q

C.p+q-pq D.p+q-2pq

答案D

解析恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.

3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.

4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　)

A.A与B,A与C均相互独立

B.A与B相互独立,A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.A与B互斥,A与C相互独立

答案A

解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.

5.设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率,则事件A发生的概率P(A)是　　　　　. 

答案

解析由已知可得

解得P(A)=P(B)=.

6.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是　　　　. 

答案0.902

解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.

∴至少两颗卫星预报准确的概率为

P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.

7.从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,从两袋内各摸出1个球,则

(1)2个球不都是红球的概率为　　　. 

(2)2个球都是红球的概率为　　　. 

(3)至少有1个红球的概率为　　　. 

(4)2个球中恰好有1个红球的概率为　　　. 

答案(1)　(2)　(3)　(4)

解析(1),(2),(3),(4)中的事件依次记为A,B,C,D,

则P(A)=1-;

P(B)=;

P(C)=1-;

P(D)=.

8.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是　　　　　. 

答案

解析由已知每次打开家门的概率为,则该人第三次打开家门的概率为.

9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.

(1)求这名同学得300分的概率;

(2)求这名同学至少得300分的概率.

解设事件A为“答对第一题”,事件B为“答对第二题”,事件C为“答对第三题”,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.6.

(1)这名同学得300分这一事件可表示为(AC)∪(BC),则P((AC)∪(BC))=P(AC)+P(BC)=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228.

(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分,该事件表示为(AC)∪(BC)∪(ABC),

则P((AC)∪(BC)∪(ABC))=P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.

10.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响.

(1)求三人都被选中的概率;

(2)求只有两人被选中的概率.

解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.

(1)∵A,B,C是相互独立事件,

∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.

(2)三种情形:

①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=.

②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=.

③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=.

以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=.

能力提升

1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-.

2.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图.假设现在青蛙在X荷叶上,则跳三次之后停在X荷叶上的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析由题知逆时针跳一次的概率为,顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在X上的概率为P1=,顺时针跳三次停在X上的概率为P2=.所以跳三次之后停在X上的概率为P=P1+P2=.

3.在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,则P(E)=P((ABC)∪(AB)∪(AC))=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)

=.

4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则P(A|B)的值是　　　　　. 

答案

解析从这20名学生中随机抽取一人,基本事件总数为20个.事件A包含的基本事件有10个,故P(A)=;事件B包含的基本事件有9个,P(B)=,事件AB包含的基本事件有5个,故P(AB)=,故P(A|B)=.

5.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.

(1)求P2的值;

(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.

解(1)P2=.

(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×

=-Pn-1+(n∈N,n≥2).

6.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.

(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.

解记Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,

Bj表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.

(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.

A=(A3A4)∪(B3B4).

由于各局比赛结果相互独立,故

P(A)=P((A3A4)∪(B3B4))=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.

(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.

因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5),由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)

=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.