高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件课时训练

1．4　充分条件与必要条件

A级　基础巩固

一、选择题

1．使0<x<2成立的一个充分条件是(　A　)

A．0<x<1　 B．0≤x<1 　

C．0<x≤2 　 D．x≥2

2．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的(　B　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．无法判断

[解析]　若p则q的逆命题为“若q，则p”即q⇒p，∴p是q的必要条件．

3．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(　C　)

A．1<x<3  B．－1<x<1

C．<x<  D．<x<5

[解析]　x2－x<0，∴0<x<1，

∵<x<⇒0<x<1，

∴p的一个充分条件为<x<．

4．下列各小题中，p是q的充分条件的是(　D　)

①p：m<－2，q：y＝x2＋mx＋m＋3有与x轴有两个不同的交点；

②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；

③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ．

A．①  B．③

C．②③  D．①②

[解析]　①中，p⇒q，②中p⇒q，③中p q．

5．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　A　)

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

D．无法判断

[解析]　∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙丙，∴丙⇒甲，甲丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

二、填空题

6．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(其中a>0)，q：2<x≤3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围__(1，2]__．

[解析]　p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(其中a>0)，解得a<x<3a．

q：2<x≤3．∵p是q的必要不充分条件，∴

解得1<a≤2．则实数a的取值范围是(1，2]．

三、解答题

7．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y．

(2)在△ABC中，p：sinA>，q：A>．

[解析]　(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(2)因为0<A<π时，sinA∈(0，1]，且A∈(0，]时，y＝sinA单调递增，A∈[，π)时，y＝sinA单调递减，所以sinA>⇒A>，但A> sinA>．所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．

8．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．

[解析]　由于p：x2－2x－3<0⇔－1<x<3，－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)．依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}(a>0)．

所以解得a≥2，

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是(－∞，2)．

B级　素养提升

一、选择题

1．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为(　B　)

①若，则x＝1；②若x>5，则x>2；③若x2－9＝0，则x＝3．

A．0　　　　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．3

[解析]　①p不是q的必要条件；②x>5⇒x>2；∴p是q的充分条件；③x2－9＝0⇐x＝3，∴p是q的必要条件，故选B．

2．集合A＝{x|<0}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　C　)

A．[－2，0)  B．(0，2]

C．(－2，2)  D．[－2，2]

[解析]　A＝{x|－1<x<1}，

B＝{x|b－a<x<a＋b}，

∵a＝1⇒A∩B≠∅，

a＝1时B＝{x|b－1<x<b＋1}，

⇒－2<b<2，

∴b的取值范围是(－2，2)．

二、填空题

3．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围__(－∞，1]__．

[解析]　x>1⇒x>a，令A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，则A⊆B，∴a≤1．

三、解答题

4．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)p：α＝，q：cos α＝；

(2)p：x2>1，q：x>1；

(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

[解析]　(1)∵α＝⇒cos α＝，cos α＝ α＝，

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵由x2>1，可解得x<－1或x>1，

∴x2>1 x>1，x>1⇒x2>1．

∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵四边形的对角线相等推不出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形推不出四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

C级　能力拔高

已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[－，2]}，B＝{x||x－m|≥1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

[解析]　先化简集合A，由y＝x2－x＋1，配方，

得y＝(x－)2＋．

因为x∈[－，2]．

所以y∈[，2]．

所以A＝{y|≤y≤2}．

由|x－m|≥1，

解得x≥m＋1或x≤m－1．

所以B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．

因为命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B．

所以m＋1≤或m－1≥2，

解得m≤－或m≥3．

故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[3，＋∞)．