高中1.4 充分条件与必要条件精练

一、单选题

1．“”的一个充分条件是（    ）

A． B．

C． D．[来源:zzst~#@ep&^.com]

【答案】B

【详解】

“”的一个充分条件就是集合的一个子集，[ww&w.~z*zs#tep.co@m]

所以 B选项满足题意.

故选B.

2．已知R，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A[来源:~中教&%*网^]

【详解】

若，则，则成立．

而当且时，满足，但不成立.

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选．

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；

当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立.[中^国教育~@出*版网#]

故选A.

4．“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件[中~国#教育出版网&^%]

C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

先考虑充分性：

因为两个角是对顶角，所以这两个角相等，

所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件.

再考虑必要性：

两个角相等，但是这两个角不一定是对顶角，

所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的非必要条件.

所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分不必要条件.

故选A.

5．设P，Q是非空集合，命题甲为P∩Q=P∪Q，命题乙为P ⊆ Q，那么甲是乙的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A[来~源:zz^*st@%ep.com]

【详解】

∵P∩Q =P∪Q ⇒P=Q⇒P⊆ Q，反之P⊆ Q时，P∩Q≠P∪Q，

∴甲是乙的充分不必要条件，[来%源^#:&中教网@]

故选A.

6．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得，”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

由给定条件可得与等价，然后判断以“存在集合C，使得，

”和“ ”分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.[www.z@zs^te%p~.com#]

【详解】

U为全集，A，B是集合，则，

于是有，，即且，因此得，[中#@%国教~育出版&网]

从而得“若存在集合C，使得，，则”是真命题；

当，存在一个集合使得，，

从而得“若，则存在集合C，使得，”是真命题，

所以“存在集合C，使得，”是“”的充要条件.

故选A.

7．已知a>0，设p：-a≤x≤3a；q：-1<x<6．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A．{a|1<a<2} B．{a|1≤a≤2}

C．{a|0<a<1} D．{a|0<a≤2}[中国教育出版~*%#@网]

【答案】C[来源%:@中*^~教网]

【详解】

因为p是q的充分不必要条件，所以解得0<a<1，所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}．

故选C.

8．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【详解】

当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；

当时，，

若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，

反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，

若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，[w&ww.z*zstep.co#~m@]

反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，

综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.

所以方程至少有一个负实根的充要条件是.

故选C.

二、多选题

9．下列各题中，p是q的充要条件的有（    ）

A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分

B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例

C．p：xy>0；q：x>0，y>0

D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）

【答案】BD

【详解】

对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不符合题意；

对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B符合题意； [www.#zzs&^tep*.co%m]

对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不符合题意；

对于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，[ww~w.#zzst&*e@p.com]

反之，当a+b+c=0时，把c=-a-b代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx-a-b=0，即(ax+a+b)(x-1)=0，显然x=1是方程的一个根，即p是q的充要条件，D符合题意.

故选BD.

10．若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【详解】

由，可得或.

对于方程，当时，方程无解；

当时，解方程，可得.

由题意知，，则可得，

此时应有或，解得或.

综上可得，或.[来源:zz~*s#t%^ep.com]

故选BC.[来源~:@中国^#教%育出版网]

11．下列结论正确的是（　　）

A．“x2＞1”是“x＞1”的充分不必要条件

B．设MN，则“xM”是“xN”的必要不充分条件[www.z@&zstep.c^#%om]

C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件

D．“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件[ww~w.zz@%s*tep.co&m]

【答案】BC[中^#国教育出版~&网@]

【详解】

对于选项A，，，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；

对于选项B，由得，则，，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；

对于选项C，由“，都是偶数”可以得到“是偶数”，但是当“是偶数”时，，可能都是奇数，所以“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，故C正确；

对于选项D，“，且”“且”，而由“且”“，且”，比如，， 所以“，且”是“且”的充分不必要条件，故D错误.

故选BC．[来源*:中国教育出&版^@网~]

12．已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（    ）

A． B．1 C．3 D．5

【答案】ABC[来源:zzs%t&ep.^co@m#]

【详解】

由，解得，所以，

非空集合，

又是的必要条件，所以，

当，即时，满足题意；

当，即时，

由，解得，

所以的取值范围是，

实数m的取值可以是.

故选ABC.

三、填空题

13．如图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的________条件．(填“充分不必要” “必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

【答案】充分不必要

【详解】

当开关K1和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮，[来源@:中教*网&~%]

当灯泡L亮时，开关K1和K2有可能都闭合，

所以电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件.

故答案为充分不必要.

14．设集合，，，则“”是“”的_______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

【答案】必要不充分

【详解】

因为集合，，[w#ww.z@zs^te%p~.com]

所以.

.

因为，

所以“”是“”的必要不充分条件.[来@源:中国&*教#育出版网~]

故答案为必要不充分.

15．已知命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.[中国教%育出版@#~&网]

【答案】

【详解】[中国^&%教育出@版~网]

因为命题：，设集合，

由可得，设集合.

因为是成立的充分不必要条件，所以A 是的真子集，

所以,解得，[来&源:@~中教^#网]

所以实数的取值范围是.[来@源&:中国*教育出版网~#]

故答案为.

四、解答题

16．设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}．

（1）当m＝3时，求A∩B，A∪B；[来@源:中国教育*出#%版&网]

（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[来源:~@中^&教*网]

【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）[﹣2，2]．

【详解】（1）当m＝3时，A＝{x|1＜x＜5}；

∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}.

（2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集,

∴，解得﹣2≤m≤2，[中国教%#育&出版@网^]

当时，，当时，，A是B的真子集都成立，

∴实数m的取值范围是[﹣2，2]．

17．已知集合，.

（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；

（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件；（2）

【详解】由，得，解得，

所以.

（1）要使是的充要条件，

则，即，[来~源&:中国^教育%*出版网]

而此方程组无解，

则不存在实数，使是的充要条件.

（2）要使是的必要条件，

则，

①当时，，即满足题意；

②当时，则，得，

要使，则有，解得，

即得，

综上可得，当实数时，使是的必要条件．

18．已知集合，.

（1）若=1，求；

（2）若>0，设命题，命题，已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】[ww&^w.zzstep*#.co@m]

（1）当时，，可得，

又由，得.

（2）当时，可得.

因为命题是命题的充分不必要条件，

所以A，可得，等号不能同时成立，解得，

所以实数的取值范围为.

19．已知命题：方程有两个不等的负根为真命题．

（1）求实数的取值范围；

（2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；．

【详解】 （1）设方程的两根为，

若命题为真命题，

则，

所以实数的取值范围为.

（2）若是的充分不必要条件，[来源:中@#国教*育出版~网^]

则，

所以，[来~源*:中国%教育^&出版网]

解得，

所以实数的取值范围为．