初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质巩固练习

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1．（2019·河北省金华中学初二期中） 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解析】∵在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠BOC=∠AOC，
故选：A．
2．（2020·广东省初二期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【答案】A
【解析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
3．（2020·河北省石家庄新世纪外国语学校初三二模）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.
A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
【答案】A
【解析】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：C．
4．（2020·山东省初三一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（ ）
A．30°B．35°C．70°D．45°
【答案】B
【解析】解：由作法得AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAM＝∠BAC＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA＝∠BAM＝35°．
故选：B．
5．（2020·河北省初二期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【答案】C
【解析】∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB，BC，CA长分别是20，30，40，
∴．
故答案选C．
6．（2019·山东省青岛第七中学初二期中）到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）．
A．三条中线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点
7．（2020·广东省初二开学考试）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】解：油库到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质可得，油库应建在这三条公路交角的平分线上，如图，符合条件的油库所在位置有4处，三角形内部1处，是三角形三个内角角平分线的角点，三角形的外部3处，分别是三角形的两个外角和其不相邻的内角的角平分线的交点，
故选D．
8．（2020·河南省淮滨县第一中学初三二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A．a=bB．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1
【答案】B
【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，
则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，
∴2a+b=﹣1．故选B．
9．（2019·黑龙江省初二期末）如图所示，在中，平于，如果,那么等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，
∴CE=DE，
∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm，
故选：C．
10．（2020·福州四十中金山分校初二月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤SBDE：S△ACD=BD：AC，其中正确的个数（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【解析】解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤错误，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故选：C．
11．（2020·贵州省中考真题）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
12．（2020·山东省初三一模）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：
（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；
（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；
（3）作射线OC交AB边于点P．
那么小明所求作的线段OP是△AOB的（ ）
A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定
【答案】C
【解析】利用作法可判断OC平分∠AOB，
所以OP为△AOB的角平分线．
故选C．
13．（2020·沈阳市尚品学校初一月考）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，以下结论：①∠AED＝90°;②点 E 是 BC 的中点;③DE＝BE;④AD＝AB＋CD;其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠AFE＝∠DFE＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∠BAE＝∠FAE，∠DAE＝∠BAD，
∠CDE＝∠FDE，∠ADE＝∠ADC，
∴∠AED＝180°-(∠DAE+∠ADE)＝90°，所以①正确．
∵
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(AAS)
∴BE＝EF，AB＝AF，
∵
∴Rt△DCE≌Rt△DFE(AAS)
∴CE＝EF，CD＝DF，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴E是BC的中点，所以②正确；
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
故选B．
14．（2020·湖北省中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·湖南省中考真题）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】
解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
16．（2020·广东省初二期中）如图，是内一点，且到三边、、的距离，若，_______度．
【答案】125
【解析】解：∵，
∴OB、OC为三角形的角平分线，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC=125°．
故答案为：125．
17．（2020·成都西川中学初三三模）如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝3，DC＝4，则△ABD的面积为_____．
【答案】6
【解析】解：过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，
∵∠ABD＝∠DBC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4，
∴△ABD的面积＝，
故答案为：6．
18． （2020·扬中市外国语中学初一期中）如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有____________________个．
【答案】2
【解析】①根据角平分线的性质易求∠1=∠2；
②∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°-(∠3+∠2)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠BAC)
=90°+∠BAC；
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=∠DAE．
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．
∴180°-(∠4+∠5)=180°-(∠2+∠3)．
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∴∠5=∠1，
综上所述，图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有2个．
故答案为：2．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·黑龙江省初一期末）如图，AE∥CF，∠A＝∠C．
（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE.
【答案】（1）∠2=145°；（2）BC∥AD，证明见解析；（3）见解析
【解析】（1）∵AE∥CF，
∴∠BDC=∠1=35°，
又∵∠2+∠BDC=180°，
∴∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°；
（2）BC∥AD．
理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC=180°，
又∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，
∴BC∥AD．
（3）∵AE∥CF，∴∠BDF=∠DBE．
∵BC∥AD，∴∠ADB=∠DBC．
∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠BDF，∴∠DBC=∠EBD．
∴BC平分∠DBE．
20．（2020·天津初三一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（1）的面积等于；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出的角平分线BD，并在AB边上画出点P，使得，并简要说明的角平分线BD及点P的位置是如何找到的（不要求证明）
【答案】（1）6；（2）见解析
【解析】解：（1）；
（2）如图，取格点M，N，连接MN，MN与网格线交于点D，连接BD即为所求；BD与网格线交于点E，取格点G，H，GH与网格线交于点F，过点E，F画直线，直线EF
交AB于点P即为所求．
21．（2020·北京初三二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．
求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．
作法：如图，
作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴ = ( ) (填推理的依据) ．
【答案】（1）详见解析；（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等．
【解析】解：（1）作∠BAC的角平分线，如图：
（2）作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
故答案为：DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等．
22．（2020·甘肃省靖远五中初二期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）AB＝AF＋2BE
【解析】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED，
∴CF＝EB；
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
∴AB＝AE＋BE＝AF＋FC＋BE＝AF＋2BE．
23．（2019·山东省初二期中）如图所示点在上且．
求证：．
若，求证：平分．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
证明：（1）∵
∴
即
∵
∴在和中
∴
∴
（2）∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴平分．
24．（2017·河南省初二期中）如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】解：（1）过点O作OM⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴OM＝OE＝OF
∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°
∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0＝∠FAO
∴点O在∠BAC的平分线上
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12
∴AB＝13
∴BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE
∴BM＋AM＝AB
即BE＋AF＝13
12－OE＋5－OE＝13
解得OE＝2
25．（2019·河北省初二期末）如图，已知∠AOB，以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，OB于F，E两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD∥OB交OP于点D.
(1)若∠OFD＝116°，求∠DOB的度数；
(2)若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.
【答案】（1）32°；（2）见解析.
【解析】（1）∵OB∥FD，
∴∠OFD+∠AOB=18O°，
又∵∠OFD=116°，
∴∠AOB=180°﹣∠OFD=180°﹣116°=64°，
由作法知，OP是∠AOB的平分线，
∴∠DOB=∠AOB=32°；
（2）证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AOD=∠DOB，
∵OB∥FD，
∴∠DOB=∠ODF，
∴∠AOD=∠ODF，
又∵FM⊥OD，
∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中
，
∴△MFO≌△MFD（AAS）．
26．（2020·江苏省初一月考）已知（如图1）在△ABC中，∠B>∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B=α，∠C=β．

（1）当α=80°，β=30°时，求∠E的度数；
（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；
（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2)，当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．
【答案】（1）∠E的度数为25°；（2）∠E=，理由见解析；（3）∠P不会发生变化，∠P=αβ
【解析】（1）∵EF⊥BC，
∴∠E=90°−∠EDF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EDF=∠C+∠CAB，
又∵∠CAB=180°−∠B−∠C=70°，
∴∠EDF=30°+35°=65°，
∴∠E=90°−65°=25°；
（2）∵EF⊥BC，
∴∠E=90°−∠EDF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EDF=β+∠CAB，
又∵∠CAB=180°−α−β，
∴∠EDF=β+90°−=90°+，
∴∠E=90°−90°=，
即∠E =；
（3）∠P度数不会发生变化，证明如下：
如图，设AP与BC交于M点，
∵FP平分∠EFB，EF⊥BC，
∴∠PFB=45°，
∵AP平分∠BAE，AD平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAD=∠BAC=∠BAC，
∵∠BAC=180°−α−β，
∴∠BAP=45°α−β，
∴∠PMF=∠AMB=180°−45°+α+β−α=135°+β−α，
∴∠P=180°−∠PFB−∠PMF=180°−45°−135°β+α=αβ，
即∠P=αβ.