初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课时训练

12.3角平分线的性质同步练习-人教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 与相交的两条直线距离相等的点在

A. 一条直线上 B. 两条互相垂直的直线上
C. 一条射线上 D. 两条互相垂直的射线上

2. 如图，在和中，，，，连接AC，BD交于点M，连接下列结论：
   ，，平分，平分其中正确的结论个数有个．

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 如图，已知O是的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作于D，且若的周长是28cm，则的面积是   

A.
B.
C.
D.

4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图所示，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA，并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是的平分线”他这样做的依据是   

A. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
 

5. 如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分交CD于点E，，，则的面积等于   

A. 10 B. 7 C. 5 D. 4

6. 如图，在中，，于点E，，，则的度数为     

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，点E，F，G分别在BC，AC，AB上，AE与BF交于点O，且点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是   

A. AE，BF 是ABC 的角平分线
B. 点O 到ABC 三边的距离相等
C. CG 也是ABC 的一条角平分线
D. AOBOCO
 

8. 如图，中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

9. 如图所示，OP平分，，，垂足分别为A、下列结论中不一定成立的是    ．

A.  B. PO平分 C.  D. AB垂直平分OP

10. 点P在的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 如图，中，，，AD平分，交BC于点D，于点E，且，则的周长为          ．
     

12. 如图，在的边OA、OB上取点M、N，连接MN，P是外角平分线的交点，若，，则的周长是________．
13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若，，则的面积是________．
14. 如图中，，，，，I是三条角平分线的交点，于D，则ID的长是______．
    
    
     

15. 如图，，点P到AB，BC，CD的距离相等，则_________

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

16. 如图，在中，，CD平分，交AB于点D，过点D作于点E．
    求证：≌；
    若，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图所示，已知的周长是20，OB、OC分别平分和，于D，且，求的面积？
    
     

18. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，于点E，于点F，若、．
    求证：AD平分；
    已知，，求AB的长．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

20. 如图，AD是的平分线，于E，于F，且，求证：．
    
    
     

21. 如图，于E，于F，若，。
    求证：AD平分。
    写出与AE之间的等量关系，并说明理由。

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：角平分线上，又因为相交的两条直线所以组成的四个角的平分线是两条互相垂直的直线．
故选：B．
利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得，但要注意此处不是一条直线，而是两条且二直线垂直．
本题主要考查了角平分线的性质；注意：已知条件中相交的两条直线所成的角并不是一个角，思考问题要全面是解决本题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由SAS证明≌得出，，正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，，正确；
作于G，于H，如图所示：则，由AAS证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出MO平分，正确；
假设OM平分，则，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，
≌，
，，故正确；
，
由三角形的外角性质得：
，
得出，，故正确；
作于G，于H，如图所示，

则，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正确；
假设OM平分，则，
在与中，
≌，
，
，
，
而，故错误；
正确的个数有3个；
故选：B．  

3.【答案】C
 

【解析】为的两条角平分线BO，CO的交点，

到AB，BC，CA边的距离相等，均等于OD的长．

4.【答案】A
 

【解析】解：如图所示，过两把直尺的交点P作，，
两把长方形直尺完全相同，，又，，
平分，依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选A．

 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查角平分线的性质定理和三角形面积公式，根据角平分线上一点，到这个角两边的距离相等，可知三角形BCE中BC边上的高为DE长，进而根据三角形面积公式计算即可．
【解答】
解：作，垂足为F，

是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，
，
，
．
故选C．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质的综合应用。旨在考查学生获取和解读数学信息、调动和运用数学知识的能力。解题的关键是利用角平分线性质。
【解答】
，，
平分，


故答案为C．  

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本作图及角平分线的性质，解题的关键是熟记角平分线的作图方法．利用尺规作图的痕迹可得AE、BF是的内角平分线，即可得出答案．
【解答】
解：由尺规作图的痕迹可得AE、BF是的角平分线，
点O到三边的距离相等，CG也是的一条内角平分线，
故D选项不正确，
故选：D．
   

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，过点D作于E，

，AD平分，
，
，
解得，即，
故选A．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平分线的性质及全等三角形的判定与性质，由已知能够注意到≌，进而求得≌是解决的关键．本题要从已知条件OP平分入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．
【解答】
解：如图：

平分，，

≌
，
、B、C项正确
设PO与AB相交于E
，，
≌

垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故选D．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【解答】
解：点P在的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
点P到OB的距离为5，
点Q是OB边上的任意一点，
．
故选C．  

11.【答案】6cm
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质 
由角平分线的性质可得：，再证明，根据全等三角形的性质，可证，即可得到结论．
【解答】
解：  平分，，，
．
在和中，
，
，
的周长，
，
的周长为6cm．  

12.【答案】11
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的计算，首先根据角平分线的性质可知P到AM、MN、BN三条线的距离相等，再根据及可求出P到AM与BN的距离，再根据四边形OMPN的面积为9，可求出的值，再加MN的值即可求出的周长．
【解答】
解：如图：

过P作，，，垂足分别为C、D、E，连结OP，
是外角平分线的交点，
，
，，
，
，
，
则，
所以，
则，
所以的周长．
故答案为11．  

13.【答案】15
 

【解析】解：如图，作于E，
由基本尺规作图可知，AD是的角平分线，
，，
，
的面积，
故答案为：15．
作于E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】2
 

【解析】解：过I作于E，于F，连接IA，IC，IB，
是三条角平分线的交点，，
，
设，
中，，，，
的面积，
，
，
，
解得：，
即，
故答案为：2．
过I作于E，于F，连接IA，IC，IB，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积求出的面积，再根据三角形的面积求出即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】试题分析：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分，CP平分，根据平行线的性质可得：，则，则．
 

16.【答案】证明：平分，，，
，，
在和中
，
≌；
解：，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据角平分线性质求出，由“HL”可证≌；
由中垂线的性质可得出，由知，可求出，则可求出．
本题考查了全等三角形的判与性质，中垂线的性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，连接OA，过O作于E，于F，
、OC分别平分和，
，
的周长是20，于D，且，

，
 

【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
 

18.【答案】解：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置．
 

【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在三角的平分线的交点上．交点即为建加油站的位置．
本题主要考查角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．要学会把实际问题数学化，应用数学知识解决实际问题．
 

19.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
平分；
解：，，
≌，
，
，
．
 

【解析】求出，根据全等三角形的判定定理得出≌，推出，根据角平分线性质得出即可；
根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

20.【答案】证明：平分，于E，于F，
 角平分线性质，
在和中，

≌  ，
．
 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法即SSS、SAS、ASA、AAS和和全等三角形的性质即对应边、对应角相等是解题的关键．
由角平分线的性质可得，再结合条件可证明≌，即可求得．
 

21.【答案】证明：于E，于F

与均为直角三角形
在与中
≌

平分

理由：，AD平分



在与中，

≌


 

【解析】根据相“HL”定理得出≌，故可得出，所以AD平分；
由中≌可知，AD平分，故可得出≌，所以，故AB。