2020-2021学年4.4* 数学归纳法测试题

数学选择性必修二尖子生同步培优题典

4.4*归纳法 解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单选题

1．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（    ）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】

根据必要不充分条件的定义可得结论.

【详解】

“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，

“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，

所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.

2．某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得

A．时该命题不成立 B．时该命题成立

C．时该命题不成立 D．时该命题成立

【答案】C

【解析】

【分析】

根据数学归纳法的有关概念，利用时命题不成立，得出时命题不成立，而无法判断.由此得出正确选项.

【详解】

假设时该命题成立，由题意可得时，该命题成立，而时，该命题不成立，所以时，该命题不成立.而时，该命题不成立，不能推得该命题是否成立．故选C．

【点睛】

本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.

3．用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

观察从到时，等式左边的变化，通过比较可得出结果.

【详解】

当时，等式左边，

当时，等式左边，

因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.

故选：C.

【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，解答的关键就是观察等式左右两边结构的变化，考查计算能力，属于基础题.

4．用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

【分析】

各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.

【详解】

根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，

右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查放缩证明不等式，解决问题的关键是根据放缩法分析计算，同时要注意排除法的应用.

5．用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择.

【详解】

根据数学归纳法，

当时，

应将变形为，

此时，和都可以被3整除.

故该变形是合理的.

故选：.

【点睛】

本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.

6．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.

【详解】

解：用排除法：当时，，明显有，

下面用数学归纳法证明，

当时，，成立；

假设当时，成立，

则当时，，

所以当时，成立，

综上：对任意，都有；

另外，

所以，

所以当时，恒成立，排除CD；

当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，

故选：B.

【点睛】

本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.

二、多选题

7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

①当时，，不等式成立；

②假设当时，不等式成立，即，

则当时，.

故当时，不等式成立.

则上述证法（    ）

A．过程全部正确 B．的验证正确

C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.

【详解】有题意“的验证正确”是正确的，故B正确。

在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题.

8．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法错误的是（    ）

A．第一步应该验证当时不等式成立

B．从“到”左边需要增加的代数式是

C．从“到”左边需要增加项

D．从“到”左边需要增加的代数式是。

【答案】ABC

【解析】

【分析】

因为的初始值为2，所以不正确；作差可知都不正确.

【详解】

第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；

因为，

所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；

所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。

故选：ABC

【点睛】

本题考查了数学归纳法的步骤，属于基础题.

9．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论.

【详解】

取，则，不成立；

取，则，不成立；

取，则，成立；

取，则，成立；

下证：当时，成立.

当，则，成立；

设当时，有成立，

则当时，有，

令，则，

因为，故，

因为，所以，

所以当时，不等式也成立，

由数学归纳法可知，对任意的都成立.

故选：CD.

【点睛】

本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立.

三、填空题

10．已知函数，对于，定义，则的解析式为________.

【答案】

【解析】

【分析】

分别求出到的值，可猜想，再用数学归纳法证明即可；

【详解】

解：函数对于，定义，

．

，

，

由此可以猜想

以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；

假设时成立，即，

则时，也成立

故

故答案为：．

【点睛】

本题考查数形归纳法的应用，属于中档题.

11．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项

【答案】

【解析】

【分析】

由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.

【详解】

解：当时，不等式左边为，

当时，不等式左边为，

则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，

故答案为： .

【点睛】

本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.

12．凸n边形的对角线的条数为，则凸边形有对角线条数为______.

【答案】

【解析】

【分析】

在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，由此可得对称线增加的情形．

【详解】

在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，因此原凸n边形的这条边变为对角线，增加的第个顶点与原来凸n边形的顶点的连线也是增加的对角线，共增加了条，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法中从到的变化是解题关键．

四、解答题

13．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．

（1）求，，的值，猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．

【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式；

（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】

（1）当时，，∴，

当时，，∴，

∴，，

猜想，；

（2）下面用数学归纳法证明：

①当时，，，猜想正确；

②假设时，猜想正确，即，

那么当时，

可得，

即时，猜想也成立．

综上可知，对任意的正整数，都成立．

【点睛】

本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题.

14．已知函数，其中是的导函数.

若.

（1）求的表达式；

（2）求证：，其中n∈N*.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件猜想，利用数学归纳法证得猜想成立.

（2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立.

【详解】

（1）由题意可知，，

由已知

，，

猜想，下面用数学归纳法证明：

（i）当 n=1 时，，结论成立：

假设 n=k（k≥1，k∈N*） 时结论成立，即，

那么，当n=k+1（k≥1，k∈N*）时，

，即结论成立.

由（i）（ii）可知，结论对 n∈N* 成立.

（2）∵，

∴，

∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）

，

∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）.

【点睛】

本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题.

15．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．

（1）求数列、的通项公式；

（2）数列满足：，，证明

【答案】（1），；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意列方程组求，从而求出.根据数列的前项和为，求出，即求；

（2）法一 由，得，累加法可证明，即可证明结论.法二 用数学归纳法证明.

【详解】

解析（1）由题意，得，

即，解得或，已知故．

，．

当时，，

当时，，

当时，满足上式，

，．

（2）

法1．，

，累加得当，，

当，

∴

法2．先用数学归纳法证明当，．

①当时，，左式>右式，不等式成立．

②假设时，不等式成立，即

当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．

③由①②得证当，．

.

【点睛】

本题考查数列的通项公式，考查与数列有关的不等式的证明，属于较难的题目.

16．设复平面，分别对应复数，已知，且为常数）.

（1）设,用数学归纳法证明：；

（2）写出数列的通项公式；

（3）求.

【答案】(1) 证明见解析;(2);(3)

【解析】

【分析】

(1)根据数学归纳法证明过程,先证明当时等式成立,再假设当时等式成立,来证明时成立即可.

(2)将复数化简可得,根据等比数列定义可知公比.进而由等比数列通项公式即可求得数列的通项公式;

(3)根据题意先求得及,再求得与,由数列的性质即可求得的值.

【详解】

(1)证明:当时,等式左边

等式右边

左边=右边

所以当时等式成立

假设当是等式成立,即

则当时

即当时等式也成立

综上可知,对于,等式成立

(2)因为

且为常数

所以数列是以首项，公比的等比数列

所以数列的通项公式为

(3)因为

所以

而

所以

所以

【点睛】

本题考查了复数的化简求值,数学归纳法在证明等式中的应用,等比数列通项公式的求法,向量的坐标运算及模长,综合性较强,属于难题.