初中数学21.3 实际问题与一元二次方程精品同步测试题

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第二十一章 一元二次方程
一元二次方程的应用
知识梳理


考点1 由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

考点2 一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程

例题剖析


题型一-比赛/送礼问题

公式：（单循环，握手问题）/
【例题1】 （2021•河西区二模）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为　　
A． B． C． D．
【分析】设邀请个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，
根据题意得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

【例题2】 （2021•香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生　　名．
A．39 B．40 C．41 D．42
【分析】设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言，根据全班共写了纪念留言1640份，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


题型二-增长率问题

公式：
【例题3】 （2021•越秀区校级模拟）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，设全市用户数年平均增长率为，根据题意可列方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】设全市用户数年平均增长率为，则2020年底有用户万户，2021年底有用户万户，根据到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设全市用户数年平均增长率为，则2020年底有用户万户，2021年底有用户万户，依题意得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例题4】 （2021•安徽三模）根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了，则这两年平均增长率是　　
A． B． C． D．
【分析】设这两年的平均增长率是，由题意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．
【解答】解：设这两年的平均增长率是，由题意可得，
，
解得：或（舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
题型三-面积问题

【例题1】 （2021•莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为　2　．

【分析】此题是典型的“平移”方法，将三条道路平移到场地的边上，形成整体的草坪．再设修建的路宽应为米，根据题意可知：新草坪的仍然是矩形，这样草坪面积可以建立，解方程即可．
【解答】解：如图，设修建的小路宽应为米，
则新的草坪面积等于矩形的面积，
即得到方程：，
整理得：，解得或．
但不合题意，舍去，所以修建的小路宽应为2米．故答案为：2．

【点评】此题考查了几何图形的平移，用“平移”的方法，将分散的图形拼成一个“整体”，再建立几何图形面积，得到方程，方程的解注意需要检验．
【例题2】 （2021•历下区二模）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为　120　平方米．

【分析】设矩形铁皮的宽为米，则长为米，根据做成无盖长方体箱子的容积为96立方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出结论．
【解答】解：设矩形铁皮的宽为米，则长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
（平方米）．
故答案为：120．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．






















题型四-利润问题

公式：
【例题1】 （2021•上城区一模）某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价　　
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
【分析】设每条连衣裙降价元，则每天售出条，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答：每条连衣裙应降价10元或20元．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例题2】 （2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为　　．
【分析】根据利润（售价进价）销售量，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．




好题速递


基础巩固

1. （2021•南沙区一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据比赛的场数参加比赛的球队数量（参加比赛的球队数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2. （2021•包河区三模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客人数比2019年下半年下降了，2020年下半年又比上半年下降了，随着国内疫情逐步得到控制，预计2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番，设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为．则下列关系正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为，根据“2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为．则．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3. （2021•南岗区校级二模）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格提价的百分率），把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为，
第一次提价后的价格为，
连续两次提价后售价在第一次提价后的价格的基础上提高，为，
则列出的方程是．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键．
4. （2021•河南模拟）某市为了落实脱贫攻坚战中“两不愁、三保障”的住房保障工作，2018年投入4.5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入6.2亿元资金用于保障性住房建设．设该市这两年投入资金的年平均增长率为，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据“2018年投入4.5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入6.2亿元资金用于保障性住房建设”由此可列出方程，求解即可．
【解答】解：设年平均增长率为，
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. （2021•岳麓区模拟）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约，预计到2021年全球装机总量达到．设全球新增装机量的年平均增长率为，则可列的方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的装机总量增长率）年的装机总量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
6. （2021春•余杭区期中）某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为，可以列出方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】等量关系为：一月份生产的零件个数二月份生产的零件个数三月份生产的零件个数万个．
【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为，
同理可得三月份生产的零件个数为，
那么．
即：，
故选：．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意3月份生产的零件个数是在2月份的基础上增加的．
7. （2020秋•武安市期末）某食品厂七月份生产面包52万个，第三季度生产面包共196万个，若满足的方程是，则表示的意义是　　
A．该厂七月份的增长率
B．该厂八月份的增长率
C．该厂七、八月份平均每月的增长率
D．该厂八、九月份平均每月的增长率
【分析】一般增长后的量增长前的量增长率），根据方程结合题意确定的意义即可．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为、，
中的表示的意义是该厂八、九月份平均每月的增长率，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的意义，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
8. （2020秋•萍乡期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有　10　人．
【分析】设这个微信群共有人，则每人需发个红包，根据该微信群共发了90个红包，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个微信群共有人，则每人需发个红包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. （2021春•长兴县月考）2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．设全班有名同学，则可列方程为　　．
【分析】利用击掌次数学生人数（学生人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. （2021春•瑶海区期中）随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为，则可列方程为　　．
【分析】根据该口罩厂6月份出货量仅为4月份的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11. （2020秋•开江县期末）如图，有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程：　　．

【分析】设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，根据两块绿地的面积和为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，
依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. （2021•江西模拟）如图，为美化校园环境，学校打算在长为，宽为的长方形空地上修建上一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为的通道．若花圃的面积恰好等于，则通道的宽　4　．

【分析】由通道的宽可得出花圃的长和宽，由花圃的面积恰好等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合，即可确定值．
【解答】解：花圃四周余下的空地修建成宽为的通道，
花圃的长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. （2020秋•兴隆台区期末）如图，在宽为，长为的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为，求道路宽为多少？设宽为，则列出的方程是　　．

【分析】设宽为，剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
【解答】解：设宽为，．
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．
14. （2020秋•来宾期末）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么　2　．

【分析】由同底等高的平行四边形的面积和矩形的面积相等，可得出种植花草部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：种植花草部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. （2020秋•秦淮区期末）某商店将进价为30元件的文化衫以50元件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为元件，可列方程为　　（方程不需化简）
【分析】由利润每件利润销售数量建立方程即可．
【解答】解：设销售单价定为元件，由题意可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出方程．
16. （2021春•东城区校级期末）为了响应政府的“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某地某商城自行车的销量自2019年起逐月增加，据统计，2019年该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售自行车100辆．
（1）求1月到3月自行车销量的月平均增长率；
（2）若每辆自行车可盈利50元，问该商城在2019年的第一季度的利润为多少元？
【分析】（1）设1月到3月自行车销量的月平均增长率为，根据3月份销售自行车的数量月份销售自行车的数量增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2月份销售自行车的数量月份销售自行车的数量增长率），可求出该商城在2019年2月份销售自行车的数量，再利用该商城在2019年的第一季度的利润销售每辆自行车的利润年的第一季度的销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设1月到3月自行车销量的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为．
（2）（辆，
（元．
答：该商城在2019年的第一季度的利润为12200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
17. （2020秋•咸阳期末）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？
【分析】根据月利润每件利润月销售量，可求出售价为300元时的原利润，设售价应定为元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月利润每件利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，月销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去）．
答：售价应定为250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18. （2021•全椒县二模）某公司的高科技医疗设备在省热销．公司规定：如果购买这种设备的数量不超过60台，每台售价为120万元；如果购买数量超过60台，每增加1台，所购买的这批设备每台均降价0.5万元．
（1）若省购买这种医疗设备的数量为台，请用含的代数式表示优惠后的每台设备的价格；
（2）该省购买这种设备的花费为8800万元，求该省购买了这种设备多少台（公司规定每台售价的最大优惠率不得超过？
【分析】（1）根据优惠后的每台设备的价格超过60台的数量，即可用含的代数式表示优惠后的每台设备的价格；
（2）设该省购买了这种设备台，先求出购买60台所需费用，由该费用低于8800万元，即可得出，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，结合每台售价的最大优惠率不得超过即可确定值，再利用数量总价单价（优惠时的单价），可求出售价最低时的购买数量，由该值不为整数舍去该值．
【解答】解：（1）购买数量超过60台，每增加1台，所购买的这批设备每台均降价0.5万元，
优惠后的每台设备的价格为（万元）．
（2）设该省购买了这种设备台，
（万元），，
．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
公司规定每台售价的最大优惠率不得超过，
，
，
；
当每台售价优惠时，购买数量为（台，
不为整数，
舍去．
答：该省购买了这种设备80台．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出优惠后的每台设备的价格；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19. （2021春•包河区期中）为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低5元，每天可多售出25个．已知每个电子产品的固定成本为100元．问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【分析】设这种电子产品降价后的销售单价为元，则每天可售出个，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种电子产品降价后的销售单价为元，则每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. （2021春•栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边为多长时，花圃的面积为．

【分析】设，则平行于墙的一边长为，根据花圃的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设，则平行于墙的一边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：花圃的一边长为或时，花圃的面积为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．









能力提升

1. （2021春•西山区校级月考）香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”，是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为　　
A．8棵 B．9棵 C．10棵 D．11棵
【分析】设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为棵，由一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”经过两轮传染后有81棵香蕉被传染，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为棵，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2. （2021•武汉模拟）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出个小分支，依题意列方程，化成一般式为　　．
【分析】根据主干、支干、小分支的总数为133，即可得出关于的一元二次方程，再将其整理成一般式即可．
【解答】解：依题意得：，
整理得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．



3. （2021•铜梁区校级一模）2021年某地“枇杷节”将于4月26日到5月30举行．热情的当地人民为游客准备了枇杷酒和枇杷花酒，在每天举行的“枇杷酒会“上．游客不仅可以品尝纯正的枇杷酒和枇杷花酒．而且还能学到一手泡酒的良方．枇杷酒和枇杷花酒对外销售．已知枇杷花酒比枇杷酒每千克贵10元，预计枇杷节期间枇杷酒销量为．枇杷花酒销量为，枇杷酒和枇杷花酒销售总额为325000元．
（1）求本次枇杷节预计销售枇杷酒和枇杷花酒的单价．
（2）实际销售过程中，枇杷花酒在预计单价的基础上增加销售．枇杷酒比预计单价降低元销售，枇杷花酒的销量与预计销量相同．枇杷酒比预计销量增加了．枇杷酒和枇杷花酒的销售总额与预计销售总额相同，求的值．
【分析】（1）设本次枇杷节预计销售枇杷酒的单价为元，则销售枇杷花酒的单价为元，根据销售总额销售单价销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额销售单价销售数量，结合实际销售中枇杷酒和枇杷花酒的销售总额与预计销售总额相同，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设本次枇杷节预计销售枇杷酒的单价为元，则销售枇杷花酒的单价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：本次枇杷节预计销售枇杷酒的单价为40元，销售枇杷花酒的单价为50元．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为40．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
4. （2021•渝中区校级二模）端午将至，各大商家都在为端午节销售粽子做准备．重庆某知名食品公司主推两款粽子礼盒，蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒．礼盒上市第一天，卖出两种礼盒共计5000盒，其中蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒的售价分别为160元和120元．
（1）若礼盒上市当天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量是八宝粽礼盒销售数量的1.5倍，求当天八宝粽礼盒的销售量？
（2）在（1）的条件下，礼盒上市第二天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量增长了，八宝粽礼盒销售数量增长了，而蛋黄鲜肉粽礼盒价格下降了，八宝粽礼盒价格不变，最终礼盒上市第二天两种礼盒的销售总额和（1）中两种礼盒的销售总额相等，求的值．
【分析】（1）设当天八宝粽礼盒的销售量为盒，则蛋黄鲜肉粽礼盒的销售量为盒，根据礼盒上市第一天共卖出两种礼盒5000盒，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额销售单价销售数量，结合第二天两种礼盒的销售总额和（1）中两种礼盒的销售总额相等，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设当天八宝粽礼盒的销售量为盒，则蛋黄鲜肉粽礼盒的销售量为盒，
依题意得：，
解得：．
答：当天八宝粽礼盒的销售量为2000盒．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5. （2021•九龙坡区模拟）节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加和，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加和，求的值．
【分析】（1）设改建座工厂，则重建工厂为座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可；
（2）设改建一座工厂花费亿元，重建一座为亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加，列出方程求出．
【解答】解：（1）设改建座工厂，则重建工厂为座，
根据题意得：，
解得：，
至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费亿元，重建一座为亿元，
根据题意得：，
解得，
，
由题意得：，
解得：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程．
6. （2021•山西模拟）2021年春节前夕，李克强总理在山西考察，他来到某快递分拨中心，对快递员们说，过去说家书抵万金，现在是快递暖人心、保生活．春节期间快递需求旺盛，我省某地2019年的快递业务量为1.4亿件，近两年由于电子商务发展等多重因素，快递业务也迅猛发展，假设这两年快递业务量的年平均增长率相同，预计2021年该地区的快递业务量可达到2.016亿件．
（1）求这两年快递业务量的年平均增长率；
（2）经实践调查，快递系统会给快递员合理分配快递，已知甲、乙两个快递员送快递，乙快递员比甲快递员平均每小时多送6件，甲快递员送150件快递所用的时间与乙快递员送180件快递所用的时间相同，问甲、乙两快递员平均每小时分别送快递多少件？
【分析】（1）设2019年与2021年这两年的年平均增长率为，根据题意可得，2019年的快速的业务量平均增长率）年快递业务量，据此列方程，求解即可；
（2）设甲快递员平均每小时多送件，则乙快递员平均每小时送件，根据“甲快递员送150件快递所用的时间与乙快递员送180件快递所用的时间相同”列出分式方程，求解并检验，即可得到结果．
【解答】解：（1）设该地区这两年快递业务量的年平均增长率为．
根据题意，得，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
答：该地区这两年快递业务量的年平均增长率为；
（2）设甲快递员平均每小时送件，则乙快递员平均每小时送件，
根据题意，得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
当时，，
答：甲、乙两快递员平均每小时分别送快递30件和36件．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用和分式方程的应用，根据问题准确找出等量关系是解决问题的关键．
7. （2021春•鄞州区期中）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少？
（2）如图2，若将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，，，和都由篱笆构成，求的长．

【分析】（1）设的长度为，则，由长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长为，即可确定的值；
（2）设的长为，则，由长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设的长度为，则，
依题意得：，
解得：，．
墙的长为，
不合题意，舍去，
．
答：在墙上借用的的长度为．
（2）设的长为，则，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
．
答：的长为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. （2020秋•九龙坡区校级期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了、两种地砖，其中50套公寓全用种地砖铺满，另外50套公寓全用种地砖铺满，种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，种地砖是每块面积为0.16平方米的正方形，且种地砖每块的进价比种地砖每块的进价高40元，购进，两种地砖共花费350000元（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）．
（1）求、两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满种地砖的公寓套数增加了，铺满种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加，种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但种地砖每块进价保持不变，最后购进、两种地砖的总花费比原计划增加了，求的值．
【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量公寓的面积每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要种地砖的数量及每套公寓需要种地砖的数量，设设种地砖每块的进价为元，则种地砖每块的进价为元，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）每套公寓需要铺种地砖的数量为（块，
每套公寓需要铺种地砖的数量为（块．
设种地砖每块的进价为元，则种地砖每块的进价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：种地砖每块的进价为60元，种地砖每块的进价为20元．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为50．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．














中考真题

1. （2019•黑龙江）为提高人民生活幸福指数，某药厂决定降低药品的价格，已知某药品2016年的售价是100元，2018年的售价是81元，若年平均降低率相同，则年平均降价率是　　
A． B． C． D．
【分析】设年平均降价率为，根据该药品2016年及2018年的售价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设年平均降价率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2. （2019•恩施州）某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是　　
A． B． C． D．
【分析】设该商店的月平均增长率为，根据等量关系：2月份盈利额增长率）月份的盈利额列出方程求解即可．
【解答】解：设该商店的每月盈利的平均增长率为，根据题意得：
，
解得：，（舍去）．
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般．
3. （2019•日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是，那么可列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】设月平均增长的百分率是，则该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长的百分率是，则该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
依题意，得．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4. （2019•遵义）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为，可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】设投入的年平均增长率为，由题意得等量关系：2016年销量增长率）年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设年平均增长率为，可列方程为：
，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
5. （2019•赤峰）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为，根据题意列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】设月平均增长率为，根据三月及五月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长率为，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量月平均增长率）增长后的量．
6. （2019•黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：（舍去），．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. （2019•南宁）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为　　

A． B．
C． D．
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为，则可列方程为，
故选：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
8. （2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有个队参赛，根据题意，可列方程为　　
A． B． C． D．
【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可．
【解答】解：设有个队参赛，根据题意，可列方程为：
，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
9. （2019•衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得　　
A． B． C． D．
【分析】等量关系为：2016年贫困人口下降率）年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
10. （2019•青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　　．
【分析】设平均每次降价的百分比是，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元，从而列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分比是，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是；
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
11. （2019•山西）如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为　　．

【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：道路的宽应为米，
由题意得，，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
12. （2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是　　．
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为，
依题意，得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. （2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2019年该村的人均收入年该村的人均收入年平均增长率），即可得出结论．
【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为．

（2）（元．
答：预测2019年该村的人均收入是26620元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
14. （2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？

【分析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. （2019•玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万与3.6万，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算结论．
【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为，
根据题意得，，
解得：，（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为；
（2）万，
（个，
（个，
（个，
故至少再增加2个销售点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
16. （2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【分析】设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，根据总利润每个产品的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．