高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质集体备课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质集体备课课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了做一做，探究一，探究二，探究三，思维辨析，随堂演练，答案0，答案C等内容，欢迎下载使用。
一、周期函数1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎样表示?提示:sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x).2.填空周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在最小的一个?是否存在一个最小的正的周期?提示:周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0);不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2π.
4.填空最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.5.做一做(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为　　　　　的周期函数. (2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)　　　　　f(x)(填“=”或“≠”). 解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数.(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).答案:(1)3　(2)=
二、正弦函数与余弦函数的周期性1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?提示:正弦函数是周期函数,最小正周期是2π;余弦函数也是周期函数,最小正周期也是2π.2.填空(1)正弦函数y=sin x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.(2)余弦函数y=cs x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
4.填空函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= .(2)函数y=Acs(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= .
答案:(1)2π　(2)4π
三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性1.根据诱导公式有sin(-x)=-sin x,cs(-x)=cs x,这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质?提示:奇偶性.2.填空(1)正弦函数y=sin x是奇函数,其图象关于原点对称;(2)余弦函数y=cs x是偶函数,其图象关于y轴对称.
3.做一做(1)函数y=sin 2x的奇偶性为(　　)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)函数y=1+cs x的图象(　　)A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x= 对称
解析:(1)令y=f(x)=sin 2x,则f(-x)=sin 2(-x)=-sin 2x,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)设y=f(x)=1+cs x.∵f(-x)=f(x),∴f(x)=1+cs x为偶函数,故其图象关于y轴对称.答案:(1)A　(2)B
求三角函数的周期例1求下列三角函数的周期:(1)y=3sin x,x∈R;(2)y=cs 2x,x∈R;(4)y=|cs x|,x∈R.分析:对于(1)(2)(3),可用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象观察求得周期.
反思感悟 求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acs(ωx+φ)+B的形式,再利用T= 求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.
变式训练1求下列函数的最小正周期:(2)y=cs|x|.(2)因为函数y=cs x为偶函数,所以y=cs|x|=cs x,从而函数y=cs|x|与y=cs x的图象一样,因此最小正周期相同,为2π.
三角函数奇偶性及其应用例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sin x|+cs x;分析:求定义域→判断定义域是否关于原点对称→看f(-x)与f(x)的关系→确定奇偶性
解:(1)函数f(x)=|sin x|+cs x的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cs(-x)=|sin x|+cs x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
反思感悟 1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0 是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶函数的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.
变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcs(π+x);(2)f(x)=sin(cs x).解:(1)函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=x·cs(π+x)=-x·cs x,∴f(-x)=-(-x)·cs(-x)=x·cs x=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin[cs(-x)]=sin(cs x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
函数奇偶性、周期性的综合问题(2)若奇函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),且f(3)=0,求f(2 019)的值.
反思感悟 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.2.推得函数周期的若干形式:(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;
对周期函数的概念理解不清致误典例 下列说法中,正确的有　　　　　.(填序号) 错解①②③④本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:根据周期函数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期公式对各个命题加以判断.
答案:③防范措施 研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的函数.
1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析:因为x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.答案:A