第三节　函数的奇偶性、周期性课件PPT

这是一份第三节　函数的奇偶性、周期性课件PPT，共44页。

学习要求:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解周期性的概念和几何意义.
▶提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 任何值时,都有⑤    f(x+T)=f(x)    成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这 个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么 这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意一自变量x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);(2)若f(x+a)= ,则T=2a(a>0);(3)若f(x+a)=- ,则T=2a(a>0).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. (　　)(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (　　)(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. (    　)
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是 (    　)A.y=x2sin x　　　    B.y=x2cs xC.y=|ln x|　　　     D.y=2-x
3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有  <0,则 (　　)A.f(3)4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 (　　)A.- 　　　    B. C. 　　　    D.- 
5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)= 则f =　1    .
角度一　函数奇偶性的判断
典例1　判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)= + ;(2)f(x)= ;(3)f(x)= 
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
角度二　已知函数的奇偶性求参数的值
典例2　已知函数f(x)=x(2x+a×2-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,则记a=m,若f(x)是奇 函数,则记a=n,则m+2n= (　　)A.0　　　    B.1　　　    C.2　　　    D.-1
解析    当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),即(1+a)(2x+2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1;当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即-x(2-x+a×2x)=-x(2x+a×2-x),即(1-a)(2x-2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.
角度三　利用函数的奇偶性求不等式的解集
典例3    (2020四川成都模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x-x2,则 不等式(x+1)f(x)>0的解集是 (　　)A.(0,1)　　　     B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)　　　    D.(-1,0)∪(1,+∞)
1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先 考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题:(1)求函数值:将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的 恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在对称区间上的图象.
(2020广东广州一模)已知函数f(x)=2x+ln(x+ )(a∈R)为奇函数,则a= (　　)A.-1　　　    B.0　　　    C.1　　　    D. 
典例4　(1)(多选题)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x) =x2-3x,则下列等式成立的是(　　 )A.f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)B.f(2 019)+f(2 021)=f(2 020)C.2f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)D.f(2 019)=f(2 020)+f(2 021)
(2)(2020四川成都一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(-x),且函数f(x+ 1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f = (　　)A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
解析　(1)由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期为6,f(2 019)=f(336×6+3)=f(3)=0,f(2 020)=f(337×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(2 021)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故A,B,C中的等式均成立.(2)因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(-x)=f(x+2),因为f(x)=2-f(-x),所以f(x)+f(x+2)=2,所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,
名师点评函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得函数是周期函 数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在 解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数 的周期.
　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,则f(0)+f(1)+…+ f(2 020)= (　　)A.-1　　　    B.0C.1　　　     D.2 020
解析    因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),因为f(1-x)=-f(1+x),所以f(x-1)=-f(1+x),则f(x-2)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数,易知f(1)=-f(1),所以f(1)=0,因为f(2)=-f(0)=-1,f(3)=f(-1)=f(1)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+…+f(2 020)=505[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)=505×0+1=1.故选C.
考点三　函数性质的综合应用
角度一　单调性、奇偶性的综合应用
典例5　(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递 增,则不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(　　)A.(-1,1)　　　    B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,+∞)　　　    D.(0,1)
(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+∞)上单调递减,则不等式f(ln x)-f(1)<0的解集是 (　　)A.(0,1)∪(3,+∞)　　　    
B.(1,3)C.(0,e)∪(e3,+∞)　　　    D.(e,e3)
解析　(1)∵函数y=f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),由f(2x-1)>f(x-2),得f(|2x-1|)>f(|x-2|),∵函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|2x-1|>|x-2|,即(2x-1)2>(x-2)2,化简得x2-1>0,解得x<-1或x>1,故不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
由f(x)在(2,+∞)上单调递减可得f(x)在(-∞,2)上单调递增,由f(ln x)-f(1)<0得f(ln x)|2-1|=1,所以ln x<1或ln x>3,解得0e3.故选C.
角度二　奇偶性、周期性的综合应用
典例6    (多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则 (　　)A.f(x)是偶函数　　　     B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是偶函数　　　    D.f(x)=f(x+4)
解析    因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函 数.
名师点评函数性质综合应用的注意点(1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶 函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性 进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自 变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f =f ,且当x∈ 时,f(x)=lg2(x+1)+m,若f(100)=lg23,则实数m的值为 (　　)A.2　　　    B.1　　　    C.0　　　    D.-1
2.已知函数f(x)= 若f(2x-2)≥f(x2-x+2),则实数x的取值范围是 (　　)A.[-2,-1]　　　    B.[1,+∞)C.R　　　    D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
数学运算——抽象函数的性质及应用
　　已知函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数y=f(x-1)的图象 关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　4    .
解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于 点(0,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
(1)本题涉及了函数的周期性与对称性,利用函数的周期性与对称性求函数值,提升了数学运算的核心素养.(2)已知函数f(x)是定义在R上的函数:①若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 对称;若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;②若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对 称.
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2 017)+f(2 018)=(　　)A.3　　　    B.2　　　    C.1　　　    D.0
解析    因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-2 017)=-f(2 017),因为当x≥0时,f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,函数f(x)的周期为6,又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,所以f(2 017)=f(336×6+1)=f(1)=2,f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=3.故f(-2 017)+f(2 018)=-2+3=1.