2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线与直线方程学案理含解析北师大版

第八章 平面解析几何

第一节　直线与直线方程

授课提示：对应学生用书第165页

知识点一　直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；

(3)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0，π)．

2．直线的斜率

(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；

(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．

• 温馨提醒 •

直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系

牢记口诀：

“斜率变化分两段，90°是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．

1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)

A．　　　　　　 B．

C．－  D．－

解析：直线l的斜率k＝＝tan 30°＝．

答案：A

2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．

解析：由题意得＝1，解得m＝1．

答案：1

知识点二　直线方程

• 温馨提醒 •

1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．

2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．

1．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)

A．4x＋2y－5＝0  B．4x－2y－5＝0

C．x＋2y－5＝0  D．x－2y－5＝0

解析：线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0．

答案：B

2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝(　　)

A．－24  B．12

C．－12  D．24

解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24．

答案：A

3．(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．

解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，

则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0．

答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0

授课提示：对应学生用书第166页

题型一　直线的倾斜角与斜率　　

1．已知直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：直线2x－y－3＝0的斜率k＝2，所以tan θ＝2，

所以sin 2θ＝＝＝＝．

答案：C

2．（2021·烟台模拟）已知p：“直线l的倾斜角α＞”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：直线l的倾斜角α＞，则直线l的斜率k＝tan α＞1或k＜0；又直线l的斜率k＞1，则tan α＞1，∴α∈，∴p是q的必要不充分条件．

答案：B

3．直线l过点P（－1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_________．

解析：如图，过A（2，1），P（－1，0）的直线的斜率为k1＝＝，过B（0，），P（－1，0）的直线的斜率为k2＝＝．由图可知，过P的直线l与线段AB有公共点的斜率的取值范围是．

答案：

求倾斜角α的取值范围的一般步骤

（1）求出tan α的取值范围．

（2）利用正切函数的单调性，借助图像，确定倾斜角α的取值范围．

题型二　直线方程的求法　　

根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；

（3）直线过点（5，10），且与原点的距离为5．

解析：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝（0≤α＜π），

从而cos α＝±，则k＝tan α＝±．

故所求直线方程为y＝±（x＋4），

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0．

（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又直线过点（－3，4），

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9．

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0．

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；

当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），即kx－y＋10－5k＝0．

由点线距离公式，得＝5，解得k＝．

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0．

综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0．

求直线方程的注意事项

（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．

（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）．

（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．

题型三　直线方程的应用　　

[例]　（1）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是　　　　；

（2）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝_________．

[解析]　（1）由直线x＋my＝0求得定点A（0，0），直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m（x－1），所以得定点B（1，3）．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），所以|PA|·|PB|的最大值是5．

（2）由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2－a，因为0＜a＜2，所以2－a＞0，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2（2－a）＋×2（a2＋2）＝a2－a＋4＝＋，又0＜a＜2，所以当a＝时，面积最小．

[答案]　（1）5　（2）

求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或二次函数求解最值．

[对点训练]

已知直线x＋a2y－a＝0（a是正常数），当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是（　　）

A．0　　　 B．2　　　　

C．　　　　 D．1

解析：直线x＋a2y－a＝0（a是正常数）在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1．

答案：D

　直线方程应用的核心素养

数学运算——直线方程的交汇应用

[例]　（2021·重庆巴蜀中学模拟）已知曲线y＝在点P（2，4）处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为（　　）

A．2x＋y＋2＝0

B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0

C．2x－y－18＝0

D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

[解析]　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0．

[答案]　B

抓住导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键．

[对点训练]

已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则|PQ|的最小值是_________．

解析：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b＝，代入动直线l：ax＋by＋c＝0，得ax＋y＋c＝0，即a（2x＋y）＋c（y＋2）＝0．∵a，c不全为零，∴解得x＝1，y＝－2，∴动直线l过定点N（1，－2）．设点P（x，y），∵当点P与N不重合时，AP⊥NP，∴·＝（x－1，y－2）·（x－1，y＋2）＝0，整理，得x2＋y2－2x－3＝0，即（x－1）2＋y2＝4．∴点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d＝＝3＞2，∴|PQ|的最小值等于圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d减去圆的半径2，∴|PQ|的最小值为3－2＝1．

答案：1