2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.2两直线的位置关系学案理含解析北师大版

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第二节　两直线的位置关系
命题分析预测
学科核心素养
本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查．常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题．
通过两直线的位置关系、对称问题的考查，提升数学运算核心素养．

授课提示：对应学生用书第167页
知识点一　两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
（2）两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
• 温馨提醒 •
两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．

1．已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为（　　）
A．0　　　　　　　 B．－8
C．2 D．10
解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．
答案：B
2．已知P（－2，m），Q（m，4），且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1．
答案：A
3．（易错题）直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝（　　）
A．2 B．－3
C．2或－3 D．3
解析：直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．
答案：C
知识点二　距离公式
1．两点间的距离公式
平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|＝．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝．
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3．两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝Ｗ．
• 温馨提醒 •
运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．

1．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（　　）
A．－1　　 B．＋1　　　
C．2－　　　 D．＋2
解析：由题意得＝1，
解得a＝－1＋或a＝－1－．因为a＞0，所以a＝－1＋．
答案：A
2．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是（　　）
A． B．
C． D．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝．
答案：B

授课提示：对应学生用书第168页
题型一　两直线的位置关系　　
1．（2021·济南模拟）“m＝3”是“直线l1：2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由l1⊥l2得，2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，解得m＝3或m＝－2．所以m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．
答案：A
2．（2021·衡水中学一调）直线l1：（3＋a）x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋（5＋a）y＝8平行，则a＝（　　）
A．－7或－1 B．－7
C．7或1 D．－1
解析：由题意，得解得a＝－7．
答案：B
3．（2021·洛阳统一考试）已知b＞0，直线（b2＋1）x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为（　　）
A．1 B．2
C．2 D．2
解析：由已知两直线垂直可得，（b2＋1）－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，所以ab＝b＋．由基本不等式得b＋
≥2＝2，当且仅当b＝1时等号成立，所以（ab）min＝2．
答案：B

　两直线位置关系的三种判断方法
方法
平行
垂直
适合题型
化成斜截式
k1＝k2，且b1≠b2
k1k2＝－1
斜率存在
一般式
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0
无限制
直接法
k1与k2都不存在，且b1≠b2
k1与k2中一个不存在，另一个为零
k不存在
题型二　距离问题　　
1．（2020·高考全国卷Ⅲ）点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　　）
A．1　　　　　　　　　 B．
C． D．2
解析：设点A（0，－1），直线l：y＝k（x＋1），由l过定点B（－1，0），知当AB⊥l时，距离最大，最大值为．
答案：B
2．过点P（3，－1）引直线，使点A（2，－3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为（　　）
A．x＝3 B．4x－y－13＝0
C．4x＋y＋13＝0 D．x＝3或4x－y－13＝0
解析：若直线的斜率不存在，则其方程为x＝3，满足条件；
若直线的斜率存在，设其方程为y＋1＝k（x－3），即kx－y－3k－1＝0，由题意得＝，
解得k＝4，
此时直线方程为4x－y－13＝0，
综上，直线的方程为x＝3或4x－y－13＝0．
答案：D
3．（2021·厦门模拟）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是（　　）
A．2 B．－2
C．2或－6 D．6
解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6．
答案：C
4．（2021·广州模拟）已知点P（4，a）到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（　　）
A．[0，10] B．（0，10）
C．[0，5] D．[5，10]
解析：由题意得，点P到直线的距离为＝．又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
答案：A

　距离问题的常见题型及解题策略
（1）求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
（2）解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
（3）求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
题型三　对称问题　　
　　对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：（1）点关于点对称；（2）点关于线对称；（3）线关于线对称．
考法（一）　点关于点对称
[例1]　过点P（0，1）作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
[解析]　设l1与l的交点为A（a，8－2a），
则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a，2a－6）在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，
解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为：x＋4y－4＝0．
[答案]　x＋4y－4＝0

点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足
考法（二）　点关于线对称
[例2]　（2021·长沙一调）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为_________．
[解析]　设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′（a，b），则反射光线所在直线过点M′，
所以解得
又反射光线经过点N（2，6），
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．
[答案]　6x－y－6＝0

解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．
考法（三）　线关于线对称
[例3]　已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（　　）
A．x－2y＋1＝0　　　　　　 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
[解析]　由得交点（1，0），取l1上的点（0，－2），其关于直线l的对称点为（－1，－1），故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．
[答案]　B

　线关于线的对称的求解方法
（1）若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
（2）若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解．
[对点训练]
　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3）直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l′的方程．
解析：（1）设A′（x，y），
由已知得
解得
所以A′．
（2）在直线m上取一点，如M（2，0），
则M（2，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′（a，b），则
解得M′．
设直线m与直线l的交点为N，则由得N（4，3）．又因为m′经过点N（4，3），所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0．
（3）设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），因为P′在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0．
　两直线位置关系应用中的核心素养
数学运算——直线系方程的应用
1．平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
[例1]　求与直线3x＋4y＋5＝0平行且过点（2，3）的直线l的方程．
[解析]　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0（C1≠5），因为直线过点（2，3），
所以3×2＋4×3＋C1＝0，解得C1＝－18．
因此，所求直线方程为3x＋4y－18＝0．

先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由其他条件求C1．
2．垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．
[例2]　求经过A（2，4），且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．
[解析]　因为所求直线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A（2，4），所以有2－2×4＋C1＝0，解得C1＝6，所以所求直线方程为x－2y＋6＝0．

先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1．
3．过直线交点的直线系
[例3]　过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________．
[解析]　设所求直线方程为x＋2y＋1＋λ（2x－y＋1）＝0，当直线过原点时，1＋λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为x－3y＝0；当直线不过原点时，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－．
由题意得＝－，
解得λ＝或λ＝－1（舍）．
此时所求直线方程为5x＋5y＋4＝0．
综上所述，所求直线方程为x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0．
[答案]　x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0

过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数），其中不包括直线l2．
4．过定点的直线系
[例4]　直线（m－1）x－（m＋3）y－（m－11）＝0（m为常数）恒过定点的坐标为_________．
[解析]　法一：将方程变为－x－3y＋11＋m（x－y－1）＝0，由得
故直线恒过定点．
法二：分别令m＝1，m＝－3，得
所以故直线恒过定点．
[答案]　

1．过定点（x0，y0）的直线系方程为y－y0＝k（x－x0）（k为直线的斜率）或A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（A、B不同时为0）．
2．求直线系过定点问题的常用方法
恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标．
特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点．
[题组突破]
1．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是_________．
解析：设所求直线方程为x－2y＋λ＝0，
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－λ．由题意，得··|－λ|＝4，解得λ＝±4．故所求直线方程为x－2y±4＝0．
答案：x－2y±4＝0
2．直线mx＋y－m－1＝0（m为参数）经过定点的坐标为_________．
解析：法一：（恒等式法）直线方程化为m（x－1）＋y－1＝0，由得x＝1，y＝1．故直线mx＋y－m－1＝0过定点（1，1）．
法二：（特殊直线法）取m＝0，得y＝1，①
取m＝1，得x＋y－2＝0，②
由①②得x＝1，y＝1．
故直线mx＋y－m－1＝0过定点（1，1）．
答案：（1，1）
3．过直线x－2y＋4＝0和直线x＋y－2＝0的交点，且与直线3x－4y＋5＝0垂直的直线方程为_________．
解析：设所求直线方程为
x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，
即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋（4－2λ）＝0，
则其斜率k＝－，
由题意可知，－×＝－1，
解得λ＝11．
故所求直线方程为4x＋3y－6＝0．
答案：4x＋3y－6＝0