2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程学案理含解析北师大版

第三节　圆的方程

授课提示：对应学生用书第171页

知识点一　圆的定义和圆的方程

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二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式Δ＝b2－4ac相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．

1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是_________．

解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋（y－1）2＝－2．

由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2．

答案：（－∞，－2）∪（2，＋∞）

2．已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是_________．

解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为（－2，－4），半径为5．当a＝2时，方程不表示圆．

答案：（－2，－4）　5

3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A（－1，1）和B（1，3），则圆C的方程为_________．

解析：设圆心坐标为C（a，0），

因为点A（－1，1）和B（1，3）在圆C上，

所以|CA|＝|CB|，

即＝，

解得a＝2，

所以圆心为C（2，0），

半径|CA|＝＝，

所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10．

答案：（x－2）2＋y2＝10

知识点二　点与圆的位置关系

　平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系：

（1）d＞r⇔M在圆外，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2⇔M在圆外；

（2）d＝r⇔M在圆上，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔M在圆上；

（3）d＜r⇔M在圆内，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2⇔M在圆内Ｗ．

1．（2021·南昌二中月考）若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－1，1）　　　　　 B．（－，）

C．（－，）  D．

解析：∵原点（0，0）在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，

∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－＜m＜．

答案：C

2．若点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是_________．

解析：因为点（1，1）在圆内，

所以（1－a）2＋（a＋1）2＜4，即－1＜a＜1．

答案：（－1，1）

授课提示：对应学生用书第171页

题型一　圆的方程求法　　

[例]　求满足下列条件的圆的方程：

（1）过点A（4，1）的圆C与直线l：x－y－1＝0相切于点B（2，1）；

（2）已知圆C经过P（－2，4），Q（3，－1）两点，且在x轴上截得的弦长等于6．

[解析]　（1）法一：由已知kAB＝0，

所以AB的中垂线方程为x＝3．　　　①

过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（x－2），

即x＋y－3＝0，　　　②

联立①②，解得

所以圆心坐标为（3，0），

半径r＝＝，

所以圆C的方程为（x－3）2＋y2＝2．

法二：设圆方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），

因为点A（4，1），B（2，1）都在圆上，

故

又因为＝－1，

解得a＝3，b＝0，r＝，

故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝2．

（2）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），

将P，Q两点的坐标分别代入得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．　　　③

设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6，

即（x1＋x2）2－4x1x2＝36，

得D2－4F＝36，　　　④

由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，

或D＝－6，E＝－8，F＝0．

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．

求圆的方程的两种方法

（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

[对点训练]

已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为_________．

解析：设所求圆的方程为（x2＋y2－4）＋a（x＋y＋2）＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，

所以圆心为，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋－3＝0，所以a＝－6．

所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即（x－3）2＋（y－3）2＝34．

答案：（x－3）2＋（y－3）2＝34

题型二　与圆有关的轨迹问题　　

[例]　（2021·衡水中学调研）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）．求：

（1）直角顶点C的轨迹方程；

（2）直角边BC的中点M的轨迹方程．

[解析]　（1）法一：设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，

又kAC＝，kBC＝，

所以·＝－1，

化简得x2＋y2－2x－3＝0．

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0）．

法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．

所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．

（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．

由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x－4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．

因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）．

求与圆有关的轨迹方程的方法

[对点训练]

如图，已知点A（－1，0）与点B（1，0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

解析：设动点P的坐标为（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．

令动点C的坐标为（x0，y0），由A（－1，0），B（1，0），

可知点D的坐标为（2x0－1，2y0），由重心坐标公式得

解得

代入x＋y＝1并整理得＋y2＝（y≠0）．

故所求轨迹方程为＋y2＝（y≠0）．

题型三　与圆有关的最值、范围问题　　

[例]　（2021·兰州市高三诊断考试）已知圆C：（x－1）2＋（y－4）2＝10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是（　　）

A．[－2，6]　　　　　 B．[－3，5]

C．[2，6]  D．[3，5]

[解析]　法一：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝≤＝，所以16＋（t－4）2≤20，所以2≤t≤6．

法二：由于点M（5，t）是直线x＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围一定关于t＝4对称，故排除选项A，B．当t＝2时，|CM|＝2，若MA，MB为圆C的

切线，则sin∠CMA＝sin∠CMB＝＝，所以∠CMA＝∠CMB＝45°，即MA⊥MB，所以t＝2时符合题意，故排除选项D．

[答案]　C

　与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析，二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题．

[对点训练]

（2021·厦门模拟）设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为_________．

解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12．

答案：12

　与圆有关的轨迹问题中的核心素养

直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆

历史背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一．

[例]　已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，求点M的轨迹方程．

[解析]　如图所示，设动点M（x，y），连接MO，MA，有：|MA|＝2|MO|，即＝2，

化简得：x2＋y2＋2x－3＝0，

即（x＋1）2＋y2＝4　①，

则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆．

若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到一般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆．“阿波罗尼斯”圆不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现．

[对点训练]

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是“阿波罗尼斯”圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B（1，1），则2|MA|＋|MB|的最小值为（　　）

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：当点M在x轴上时，点M的坐标为（－1，0）或（1，0）．若点M的坐标为（－1，0），则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝1＋；

若点M的坐标为（1，0），则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝4．

当点M不在x轴上时，取点K（－2，0），连接OM，MK（图略），因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以＝＝2．因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则＝＝2，所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，可知|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．

因为B（1，1），K（－2，0），所以（2|MA|＋|MB|）min＝|BK|＝＝．

综上，易知2|MA|＋|MB|的最小值为．

答案：C