新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线方程学案含解析

 第8章 平面解析几何

第一节　直线方程

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤a＜180°.

2．斜率公式

(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.

(2)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率．

(3)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (×)

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (×)

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等． (×)

(4)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示． (×)

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．              (√)

2．直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)

A．30° B．45° 

C．120° D．150°

B　解析：由题得，直线y＝x＋1的斜率为1.设其倾斜角为α，则tan α＝1.又0°≤α＜180°，故α＝45°.故选B.

3．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

C　解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

4．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.

－3　解析：因为A，B，C三点共线，

所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3.

5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为__________________．

3x－2y＝0或x＋y－5＝0　解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.

考点1　直线的倾斜角与斜率——基础性

1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有(　　)

A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1 D．k2<k3<k1

D　解析：由图可知k1>0，k2<0，k3<0，且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角，所以k3>k2.综上可知k2<k3<k1.故选D．

2．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A． 

B．

C．(－∞，－1)∪ 

D．(－∞，－1)∪

D　解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.

令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>.

3．已知直线的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A．∪ B．∪

C．∪   D．∪

B　解析：因为直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，所以y＝－x＋，即直线的斜率k＝－.由－1≤sin α≤1，得－≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为∪.

4．若直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．

　解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.又y＝tan α在上单调递增，因此≤α<.

考点2　求直线的方程——基础性

根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)．

从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.

故所求直线方程为y＝±(x＋4)．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为＋＝1.又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意．当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

求适合下列条件的直线方程：

(1)求过点A(1,3)，倾斜角是直线y＝－x的倾斜角的的直线方程；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

解：(1)因为y＝－x的斜率为k＝－，其倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为，

所以直线方程为y－3＝(x－1)，即直线方程为x－y＋3－＝0.

(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

考点3　直线方程的综合应用——综合性

考向1　求与最值有关的直线方程

过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)．

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)因为1＝＋≥2＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．

所以，当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小．

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1(a>0，b>0)，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

考向2　由直线方程求参数的值或范围

已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋.又0<a<2，所以当a＝时，四边形的面积最小．

1．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米．现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．

10　解析：如图，建立平面直角坐标系，

设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以A，B(0,4－3k)，所以△ABO的面积S＝×(4－3k)×＝×.

因为k<0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为＝10(米)．

2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA||PB|的最大值是________．

5　解析：由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，得定点B(1，3)．当m＝0时，两条动直线垂直；当m≠0时，因为×m＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

 [四字程序]

思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值．

解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．

将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24.

从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－.

从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

所以△ABD的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．

解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，

将点P(3,2)的坐标代入得＋＝1.

令＝sin2α，＝cos2α，则a＝，b＝，

所以S△ABO＝ab＝＝.

因为0<sin22α≤1，所以S△ABO≥12，当且仅当sin22α＝1时等号成立．

所以当且仅当＝时等号成立，即k＝－＝－，

从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

所以△ABD的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合基本不等式求得最值．

解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，

则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A，B(0,2－3k)，

所以S△ABO＝(2－3k)

＝

≥

＝×(12＋12)＝12.

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.

1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．

2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化，构造函数利用基本不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．

过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：

(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；

(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．

解：(1)设直线的方程为＋＝1(a>b，b>0)，则＋＝1.所以ab＝ab＝2b＋a≥2，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA|·|OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)．

所以|PA||PB|＝＝≥4，

当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，

所以|PA||PB|的最小值为4时，

直线的方程为x＋y－3＝0.