人教b版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线方程学案含解析

第8章 平面解析几何

第1节　直线方程

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线的倾斜角

(1)倾斜角的定义

一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．

(2)若直线与x轴平行或重合，则规定该直线的倾斜角为0°.

(3)倾斜角的取值范围是0°～180°.

2．直线的斜率

(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．

直线的斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.

3．直线方程的五种形式

(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．

(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × )

(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．( × )

(4)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．( × )

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )

2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足

(　　)

A．a＋b＝1 B．a－b＝1

C．a＋b＝0 D．a－b＝0

D　解析：因为sin α＋cos α＝0，所以 tan α＝－1.

又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－，

所以－＝－1，即a－b＝0.

3．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

C　解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

4．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则 x＝________.

－3　解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3.

5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为__________________．

3x－2y＝0或x＋y－5＝0　解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.

考点1　直线的倾斜角与斜率——基础性

1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有(　　)

A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1 D．k2<k3<k1

D　解析：由图可知k1>0，k2<0，k3<0，且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角，所以k3>k2.综上可知k2<k3<k1.故选D.

2．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A． 

B．

C．(－∞，－1)∪ 

D．(－∞，－1)∪

D　解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>.

3．已知直线的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.∪ 

B.∪

C.∪ 

D.∪

B　解析：因为直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，所以y＝－x＋，即直线的斜率k＝－.由－1≤sin α≤1，得－≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为∪.

4．(2021·八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．

，－3　解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图的平面直角坐标系．

设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2.

由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，

故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，

kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.

1．倾斜角α与斜率k的函数关系

k＝tan α，α∈∪，求倾斜角或斜率范围时，可结合图像解题．

2．斜率的两种求法

(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．

(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据公式k＝(x1≠x2)求斜率．

考点2　求直线的方程——基础性

根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)．

从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.

故所求直线方程为y＝±(x＋4)．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为＋＝1.又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意．

当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

求直线方程的方法

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．

(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

求适合下列条件的直线方程：

(1)求过点A(1,3)，倾斜角是直线y＝－x的倾斜角的的直线方程；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

解：(1)因为y＝－x的斜率为k＝－，其倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为，

所以直线方程为y－3＝(x－1)，即直线方程为x－y＋3－＝0.

(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又直线经过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

考点3　直线方程的综合应用——综合性

考向1　求与最值有关的直线方程

过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)．

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)因为1＝＋≥2＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．

所以，当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小．

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1(a>0，b>0)，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤

(1)设出直线方程，建立目标函数．

(2)利用均值不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数．

(3)写出直线方程．

考向2　由直线方程求参数的值或取值范围

已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.又0<a<2，所以当a＝时，四边形的面积最小．

由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项

(1)注意寻找等量关系或不等关系．若点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解．

(2)注意直线恒过定点问题．

1.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米．现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．

10　解析：如图，建立平面直角坐标系．

设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以A，B(0,4－3k)，所以△ABO的面积S＝×(4－3k)×＝×.

因为k<0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为＝10(米)．

2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA||PB|的最大值是________．

5　解析：由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，得定点B(1,3)．当m＝0时，两条动直线垂直；当m≠0时，因为×m＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

[四字程序]

思路参考：设出直线的截距式方程，利用均值不等式求出ab的最小值．

解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．

将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24.

从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－.

从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．

解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，

将点P(3,2)的坐标代入得＋＝1.

令＝sin2α，＝cos2α，则a＝，b＝，

所以S△ABO＝ab＝＝.

因为0<sin22α≤1，所以S△ABO≥12，当且仅当sin22α＝1时等号成立．

由图可知b＞0，所以当且仅当＝时等号成立，即k＝－＝－，

从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合均值不等式求得最值．

解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，

则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A，B(0,2－3k)，

所以S△ABO＝(2－3k)

＝

≥

＝×(12＋12)＝12.

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.

1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．

2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化，构造函数利用均值不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．

过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：

(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；

(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．

解：(1)设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.所以ab＝ab＝2b＋a≥2，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA||OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)．

所以|PA||PB|＝＝≥4，

当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，

所以|PA||PB|的最小值为4时，

直线的方程为x＋y－3＝0.