2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线学案理含解析北师大版，共11页。

第七节　双曲线
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等．
本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养．

授课提示：对应学生用书第184页
知识点一　双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
（1）在平面内；
（2）与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；
（3）非零常数小于|F1F2|．
• 温馨提醒 •
　双曲线定义的四点辨析
（1）当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．
（2）当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
（3）当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．
（4）当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

1．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（　　）
A．28　　　　　　 　　 B．14－8
C．14＋8 D．8
解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8，
∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8＝14＋8．
答案：C
2．（易错题）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于6的点的轨迹是_________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
知识点二　双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1（a>0，b>0）
－＝1（a>0，b>0）
图　形


性质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1（－a，0），A2（a，0）
顶点坐标：
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞）
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
• 温馨提醒 •
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
2．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2．

1．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案：A
2．经过点A（3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1（a＞0），
把点A（3，－1）代入，得a2＝8（舍负），
故所求方程为－＝1．
答案：－＝1

授课提示：对应学生用书第185页
题型一　双曲线的定义及标准方程　　
1．已知双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝（　　）
A．2或14　　　　　　　　 B．2
C．14 D．2或10
解析：由题意知＝，故a＝4，则c＝5．由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14．
答案：C
2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．3
C． D．2
解析：法一：由题知a＝1，b＝，c＝2，F1（－2，0），F2（2，0），如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝16．
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，

所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3．
法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4．设点P的坐标为（x0，y0），则解得|y0|＝．所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3．
答案：B
3．（2021·洛阳模拟）若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则|PF|＋|PA|的最小值是（　　）
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为（－4，0），设双曲线的右焦点为B，则B（4，0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9．
答案：B
4．已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是（　　）
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
解析：法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1．
法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点（2，3）在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1．
答案：C

双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．
题型二　双曲线的几何性质　　
　　双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．常见的命题角度有：（1）已知离心率求渐近线方程；（2）已知渐近线求离心率；（3）由离心率或渐近线求双曲线方程．
考法（一）　已知离心率研究渐近线问题
[例1]　已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈（1，2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（　　）
A．　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈（1，2]，所以1＜≤2，所以1＜≤4，又c2＝a2＋b2，所以0＜≤3，所以≥，所以≥．－＝1（a＞0，b＞0）经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝x，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝≥，又α∈，所以α∈．
[答案]　C
考法（二）　已知渐近线求离心率
[例2]　（2020·高考全国卷Ⅰ）已知F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_________．
[解析]　如图，A（a，0）．

由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
即b2＝3ac－3a2．
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0．解得e＝2或e＝1（舍去）．故e＝2．
[答案]　2
考法（三）　由离心率或渐近线求双曲线方程
[例3]　（2021·义乌模拟）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点落在直线y＝x－2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（　　）
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
[解析]　依题意得，直线y＝x－2与x轴的交点（2，0）是双曲线的一个焦点，于是有a2＋b2＝4．又双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝1，因此有a2＝3，故双曲线的方程为－y2＝1．
[答案]　D

解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点
（1）已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
（2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
[题组突破]
1．（2020·高考全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D（a，b），E（a，－b），
∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16．
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8．
答案：B
2．（2021·济南模拟）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是（　　）
A．2或 B．2或
C．或 D．或
解析：设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴＝1，∴k＝±，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y＝x．
故需分双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：
①当双曲线的焦点在x轴上时，有＝，即a＝b，
∴e＝＝＝；
②当双曲线的焦点在y轴上时，有＝，即a＝b，
∴e＝＝＝2．∴双曲线C的离心率为或2．
答案：A
3．（2021·武汉质监）已知双曲线E：－＝1的离心率为，则双曲线E的焦距为（　　）
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：因为a＝4，离心率e＝＝，所以c＝5，所以双曲线的焦距2c＝10．
答案：D
题型三　直线与双曲线的位置关系　　
[例]　已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（4，0），实轴长为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
[解析]　（1）设双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0）．
由已知得：a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝4，所以双曲线C的方程为－＝1．
（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），将y＝kx＋2与－＝1联立，得（1－3k2）x2－12kx－36＝0．
由题意知
解得＜k＜1．
所以当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．

解决直线与双曲线位置关系问题的步骤

[对点训练]
（2019·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为　　　　．
解析：法一：由＝，得A为F1B的中点．
又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．

又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．
∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．
又∵∠F1OA＝∠BOF2，
∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．
如图所示，不妨设B为．
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝2．
法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，

∴|BH|＝b，|OH|＝a，
∴B（a，－b），F2（c，0）．
又∵＝，
∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴＝，
∴c＝2a，∴离心率e＝＝2．
答案：2
　双曲线几何性质的核心素养
数学运算、直观想象——双曲线的离心率范围问题
[例]　（2021·黑龙江海林月考）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）．若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为（　　）
A．　　　　　　　 B．
C．2 D．2
[解析]　因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且＝3，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上．设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0）．因为＝3，所以c－x1＝3（c－x2），所以3x2－x1＝2c．因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，所以3x2－x1≥4a，即2c≥4a，所以≥2，即e≥2，所以双曲线离心率的最小值为2．
[答案]　C

双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略
解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
[对点训练]
（2021·湖北九校联考）已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C．（1，） D．（，＋∞）
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x．设直线PF1的方程为y＝k（x＋c），因为点P在双曲线的右支上，所以|k|＜．由F2（c，0）到直线PF1的距离d＝＝a，解得k2＝＝，根据k2＜，得a4＜3b2c2＋b4，所以a4－b4＝（a2＋b2）（a2－b2）＝（a2－b2）c2＜3b2c2，则a2－b2＜3b2，即＞，所以e2＝1＋＞，则e＞．
答案：B