2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5椭圆学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5椭圆学案理含解析北师大版，共10页。

第五节　椭圆
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．

授课提示：对应学生用书第177页
知识点一　椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点Ｗ．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
（1）当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆．
（2）当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段．
（3）当2a<|F1F2|时，P点不存在．
• 温馨提醒 •
二级结论
1．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为，通径是最短的焦点弦．
2．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．
必明易错
椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|时，不存在轨迹．

1．若F1（－3，0），F2（3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（　　）
A．＋＝1　　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
解析：设点P的坐标为（x，y），因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1．
答案：A
2．（易错题）平面内一点M到两定点F1（0，－9），F2（0，9）的距离之和等于18，则点M的轨迹是_________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，且|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2．
答案：线段F1F2
知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
（a＞b＞0）
＋＝1
（a＞b＞0）
图形


性质
范围
x∈[－a，a]，
y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，
y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1（－a，0），A2（a，0），
B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a），
B1（－b，0），B2（b，0）
离心率
e＝，且e∈（0，1）
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
• 温馨提醒 •
二级结论
　椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．

（1）当P为短轴端点时，θ最大．
（2）S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc．
（3）焦点三角形的周长为2（a＋c）．
必明易错
求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1（a>b>0）．

1．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（　　）
A． B．
C．2－ D．－1
解析：由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，∴2c＋2c＝2a，
解得＝－1．
答案：D
2．（易错题）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　）
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对
解析：直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1．
答案：C
3．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝_________．
解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，所以m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，所以m＝8．所以m＝4或8．
答案：4或8

授课提示：对应学生用书第178页
题型一　椭圆的定义与标准方程　　
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）
A．2　　　　　　　　 B．6
C．4 D．12
解析：由椭圆的方程得a＝．设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝（|BA|＋|BF|）＋（|CF|＋|CA|）＝2a＋2a＝4a＝4．
答案：C
2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：（x＋4）2＋y2＝1和（x－4）2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值，最大值分别为（　　）
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝（|PM|＋|MF1|）＋（|PN|＋|NF2|）－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12．

答案：C
3．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（　　）
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a＝2b，又椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆方程为＋＝1．
答案：C

1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
2．求椭圆方程的常用方法
（1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
（2）待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），再用待定系数法求出m，n的值即可．
题型二　椭圆的几何性质　　
[例]　（1）已知F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为（　　）
A．2－　　　　　　 B．－
C．－1 D．－
[解析]　设|PF1|＝|PQ|＝m（m＞0），则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m．由题意知△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a．因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以（4a－2a）2＋[2a－（4a－2a）]2＝4c2，整理得4×（）2＝36－24，即＝＝－．
[答案]　D
（2）已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　　）
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
[解析]　显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则＝，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8．
[答案]　D

求椭圆离心率的三种方法
（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．
（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
[题组突破]
1．（2021·洛阳模拟）已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于（　　）
A．5 B．6
C．9 D．10
解析：由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9．
答案：C
2．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（　　）
A．（－3，0） B．（－4，0）
C．（－10，0） D．（－5，0）
解析：∵圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝1，∴圆心坐标是（3，0），∴c＝3．又b＝4，∴a＝＝5．∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为（－5，0）．
答案：D
题型三　直线与椭圆的位置关系　　
[例]　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（－a，0），若|AB|＝，求直线l的倾斜角．
[解析]　（1）由e＝＝得3a2＝4c2，
再由a2＝b2＋c2得a＝2b，又×2a×2b＝4，则ab＝2，解方程组得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1．
（2）由（1）得A（－2，0），设点B的坐标为（x1，y1），由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理得
（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0，因为x＝－2是方程的一个根，则
－2x1＝，所以x1＝，
从而y1＝k（x1＋2）＝．
|AB|＝＝，由|AB|＝，得＝，整理得32k4－9k2－23＝0，即（k2－1）（32k2＋23）＝0，所以k＝±1，所以直线l的倾斜角为或．

1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝　（k为直线斜率）．
[对点训练]
已知椭圆的两焦点为F1（－，0），F2（，0），离心率e＝．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
解析：（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），
则c＝，＝，所以a＝2，b＝1，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1．
（2）由消去y，
得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由Δ＞0，得m2＜5．（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，
|PQ|＝＝2．
解得m＝±，满足（*），
所以m＝±．
　椭圆几何性质中的核心素养
数学运算、直观想象——椭圆离心率的范围问题
椭圆的离心率问题是高考命题的热点，离心率范围问题是高考难点，多为选择题、填空题的压轴小题，能力要求较高．
[例]　（1）（2021·青岛模拟）已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）
A．　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　（几何法）如图所示，

∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c．
∴a－c≤2c≤a＋c．
∴e＝∈．
[答案]　C
（2）过椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是_________．
[解析]　由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0＜e＜1，所以0＜e≤．
[答案]　

求椭圆离心率范围的两种方法
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P（x0，y0）为椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
[对点训练]
已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2（|AF|＋|BF|）＝8，所以a＝2．又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝ ＝ ．因为1≤b＜2，所以0＜e≤．
答案：A