高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式导学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式导学案及答案，共6页。

A.理解基本不等式的内容及证明.
B.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
C.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
1. 理解基本不等式的内容及证明.
2. 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是________．
2．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq \f(β,3)的取值范围是________．
3．比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；
(2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.
题型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
变式训练：已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
基本不等式：
题型二 用基本不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数.
求证：(1)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
变式训练：已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
题型三 用基本不等式比较大小
例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A.x＝eq \f(a＋b,2) B.x≤eq \f(a＋b,2) C.x＞eq \f(a＋b,2) D.x≥eq \f(a＋b,2)
1.若0eq \r(ab)>b B.b>eq \r(ab)>eq \f(a＋b,2)>a
C.b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>a D.b>a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)
2.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A. x＋eq \f(1,x)≥2 B.x2＋1>2x C.eq \f(1,x2＋1)≤1
3. 设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4；
③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________.(填序号)
4. 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
参考答案
1．答案 C
解析 ∵0eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab).
∵b>a>0，∴ab>a2，∴eq \r(ab)>a.故b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>a.
2．答案 C
解析 对于A，当x0，故①恒成立；
由于a＋eq \f(1,a)≥2，b＋eq \f(1,b)≥2，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于a＋b≥2eq \r(ab)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))，
故(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
4．证明：法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a)，同理1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b)，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))
＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当a＝b＝\f(1,2)时取等号)).
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝1＋eq \f(a＋b,ab)＋eq \f(1,ab)＝1＋eq \f(2,ab)，因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，于是eq \f(1,ab)≥4，eq \f(2,ab)≥8，
因此eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥1＋8＝9
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当a＝b＝\f(1,2)时等号成立)).