高中数学3.2.1古典概型导学案

必修3学案              §3.2.1古典概型           姓名      

☆学习目标：1. 通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；

   2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

☻知识情境：

 1. 随机事件的概念

（1）必然事件：每一次试验              的事件，叫必然事件；

（2）不可能事件：任何一次试验              的事件，叫不可能事件；

（3）随机事件：随机试验的每一种   或随机现象的每一种   叫的随机事件,简称为事件.

2.事件的关系

①如果A B为不可能事件(A B), 那么称事件A与事件B互斥.

其含意是: 事件A与事件B在任何一次实验中     同时发生.  

②如果A B为不可能事件,且A B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件.

  其含意是: 事件A与事件在任何一次实验中         发生.

☻知识生成：我们来考察两个试验：试验①掷一枚质地均匀的硬币; 试验②掷一枚质地均匀

    的骰子.在试验①中, 结果只有    个, 即     ,它们都是随机事件, 即       相等;

      试验②中, 结果只有      个, 即           , 它们都是随机事件, 即      相等;

    我们把这类事件称为基本事件(elementary event)

1. 基本事件的概念:  一个事件如果                      事件，就称作基本事件.

基本事件的两个特点:  10.任何两个基本事件是      的；

  20.任何一个事件(除不可能事件)都可以                 .

例如(1) 试验②中,随机事件“出现偶数点”可表示为基本事件                       的和.

    (2) 从字母中, 任意取出两个不同字母的这一试验中，

所有的基本事件是：                               ,共有    个基本事件.

2. 古典概型的定义

  古典概型有两个特征：

10.试验中所有可能出现的基本事件         ；

20.各基本事件的出现是         ，即它们发生的概率相同．

将具有这两个特征的概率称为古典概型(classical models of probability).

注：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合都这两个条件，

   即, 都可以作为古典概型来看待．

3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个

      基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：

                                                                                .

例如

在试验②中,基本事件只有   个,且都是随机事件,即各基本事件的出现是       的,

        又随机事件A =“出现偶数点”包含有       基本事件.所以.

☆案例探究：

例1 掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率．

分析: 所有的基本事件是：                        ,

这里     个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．

所以,                                         ．

例2一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．

解法1　设 “出现点数之和为奇数”，

用 记“第一颗骰子出现 点，第二颗骰子出现 点”，．

显然出现的个基本事件组成等概样本空间，

其中 包含的基本事件个数为 ，

故．

解法2若把一次试验的所有可能结果取为：                                 ，

则它们组成   样本空间. 基本事件总数 ,包含的基本事件个数,

故．

解法3　若把一次试验的所有可能结果取为：                ，也组成     样本空间，

基本事件总数 ,包含的基本事件个数,故．

特别提示:①找出的基本事件组构成的样本空间，必须是等概的．

         如：解法2中倘若解为：(两个奇)，(一奇一偶)，(两个偶)当作基本事件组成样本空间，

②本例又告诉我们，同一问题可取不同的样本空间解答．

例3 从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，

   连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解：

例4 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

特别提示:①注意放回抽样与不放回抽样的区别.

②关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作

  是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，

  否则会导致错误．

参考答案:

1. 随机事件的概念

（1）必然事件：每一次试验都一定出现的事件，叫必然事件；

（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件，叫不可能事件；

（3）随机事件：随机试验每一种结果或随机现象的每一种表现叫的随机事件,简称为事件.

1. 基本事件的概念:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，就称作基本事件.

   基本事件的两个特点:

10.任何两个基本事件是互斥的；

20.任何一个事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

    古典概型有两个特征：

10.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

20.各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．

例1 掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率．

分析: 所有的基本事件是：              甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反,

这里     个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．

所以,  n=4, m=1, P=1/ 4 ．

例2一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．

解法1　设 “出现点数之和为奇数”，

用 记“第一颗骰子出现 点，第二颗骰子出现 点”，．

显然出现的36个基本事件组成等概样本空间，

其中 包含的基本事件个数为 ，

故 。　　

解法2　若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

则它们组成等概样本空间. 基本事件总数 ,包含的基本事件个数,

故． ，故　　       。　　

解法3　若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，也组成等概

     样本空间，基本事件总数 ,包含的基本事件个数,故．

             所含基本事件数为1，故  。

例3解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6

个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号

内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出

的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[(a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]

     事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==

例4分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．

解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，

所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，

则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．

（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），

则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，

所以试验的所有结果为10×9×8=720种．

设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336,

所以P(B)= ≈0.467．

解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，

则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，

但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，

所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，

按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，

           因此P(B)= ≈0.467．