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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示图片ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示图片ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，答案C，答案1等内容，欢迎下载使用。
1.了解分段函数的概念.(数学抽象)2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.(直观想象)3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.(逻辑推理)
[激趣诱思]某村电费收取有以下两种方案供村民选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30千瓦时时,每千瓦时0.5元,超过30千瓦时时,超过部分按每千瓦时0.6元收取.方案二:不收管理费,每千瓦时按0.58元收取.问题:(1)求方案一中电费L(x)(单位:元)与用电量x(单位:千瓦时)之间的函数解析式.(2)老王家9月份按方案一缴纳电费35元,问老王家该月用电多少千瓦时?(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二省钱?
知识点:分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.名师点析 学习分段函数应注意(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间的端点能否取到,做到不重复、不遗漏.(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.
微练习(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.解 (1)∵f(-2)=-(-2)=2,∴f(f(-2))=f(2)=4.(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,∴a=2.②当a≤0时,f(a)=-a=4,∴a=-4.综上可知,a=-4或a=2.
反思感悟 1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求自变量取值的步骤(1)先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究 在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.
反思感悟 分段函数图象的关注点(1)因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
变式训练1已知函数f(x)=|x-1|-2.(1)用分段函数的形式表示f(x);(2)画出f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域.
解 (1)当x≥1时,f(x)=|x-1|-2=x-3;当x<1时,f(x)=|x-1|-2=-x-1.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,(3)由图可知函数的值域为[-2,+∞).
例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .
解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1
例4如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x(x>0),
(1)试写出直线l左边部分的面积f(x)与x的函数.(2)已知A={x|f(x)<4},求满足集合A的x的取值范围.
要点笔记 分段函数实际问题的求解策略分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它,其定义域、值域分别是各段定义域、值域的并集.解实际问题时要结合实际意义写出定义域.
变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).每个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点,求票价y(单位:元)关于里程x(单位:千米)的函数解析式,并画出图象.
解 根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}.由空调汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析式: (x∈N*).根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
关于涉及分段函数有关的不等式的解法
所以不等式x2+(x+2)·f(x)≤4等价于解①得0≤x≤1,解②得-2≤x<0.所以不等式x2+(x+2)f(x)≤4的解集是[-2,1].
方法点睛 求解与分段函数有关的不等式问题,应在根据分段函数的各定义域限制之下,结合分段函数的各段的解析式建立不等式组求解集,最后将各不等式组的解集取并集后得到原不等式的解集.
答案 B解析 f(f(-3))=f(0)=π.
3.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为( )A.13立方米B.14立方米C.15立方米D.16立方米答案 C解析 设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元,由题意得由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.故选C.
(1)画出函数f(x)的图象;(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
解 (1)图象如图所示.(2)f(1)=12=1,f(-1)=- =1,f[f(-1)]=f(1)=1.
1.了解分段函数的概念.(数学抽象)2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.(直观想象)3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.(逻辑推理)
[激趣诱思]某村电费收取有以下两种方案供村民选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30千瓦时时,每千瓦时0.5元,超过30千瓦时时,超过部分按每千瓦时0.6元收取.方案二:不收管理费,每千瓦时按0.58元收取.问题:(1)求方案一中电费L(x)(单位:元)与用电量x(单位:千瓦时)之间的函数解析式.(2)老王家9月份按方案一缴纳电费35元,问老王家该月用电多少千瓦时?(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二省钱?
知识点:分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.名师点析 学习分段函数应注意(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间的端点能否取到,做到不重复、不遗漏.(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.
微练习(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.解 (1)∵f(-2)=-(-2)=2,∴f(f(-2))=f(2)=4.(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,∴a=2.②当a≤0时,f(a)=-a=4,∴a=-4.综上可知,a=-4或a=2.
反思感悟 1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求自变量取值的步骤(1)先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究 在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.
反思感悟 分段函数图象的关注点(1)因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
变式训练1已知函数f(x)=|x-1|-2.(1)用分段函数的形式表示f(x);(2)画出f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域.
解 (1)当x≥1时,f(x)=|x-1|-2=x-3;当x<1时,f(x)=|x-1|-2=-x-1.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,(3)由图可知函数的值域为[-2,+∞).
例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .
解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1
例4如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x(x>0),
(1)试写出直线l左边部分的面积f(x)与x的函数.(2)已知A={x|f(x)<4},求满足集合A的x的取值范围.
要点笔记 分段函数实际问题的求解策略分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它,其定义域、值域分别是各段定义域、值域的并集.解实际问题时要结合实际意义写出定义域.
变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).每个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点,求票价y(单位:元)关于里程x(单位:千米)的函数解析式,并画出图象.
解 根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}.由空调汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析式: (x∈N*).根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
关于涉及分段函数有关的不等式的解法
所以不等式x2+(x+2)·f(x)≤4等价于解①得0≤x≤1,解②得-2≤x<0.所以不等式x2+(x+2)f(x)≤4的解集是[-2,1].
方法点睛 求解与分段函数有关的不等式问题,应在根据分段函数的各定义域限制之下,结合分段函数的各段的解析式建立不等式组求解集,最后将各不等式组的解集取并集后得到原不等式的解集.
答案 B解析 f(f(-3))=f(0)=π.
3.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为( )A.13立方米B.14立方米C.15立方米D.16立方米答案 C解析 设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元,由题意得由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.故选C.
(1)画出函数f(x)的图象;(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
解 (1)图象如图所示.(2)f(1)=12=1,f(-1)=- =1,f[f(-1)]=f(1)=1.
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